Об одном алгоритме вычисления функции распределения выплат в модели коллективных страховых рисков Бацын М.В. Калягин В.А., д.ф-м.н., профессор, декан факультета Нижегородский Филиал Государственного Университета – Высшая Школа Экономики Кафедра «Прикладная математика и информатика»

Задачи, решенные в работе Получена аналитическая формула для функции распределения суммы страховых выплат в случае, когда ущерб имеет равномерное распределение Доказана справедливость этой формулы Разработан эффективный алгоритм вычисления этой функции 2

Схема страхования Страховая компания Перестраховочная компания Страхователи число страхователей Платят страховые премии И платит за перестрахование ущерба свыше Страховой случай ущерб Оплачивает весь ущерб Оплачивает __ только Оплачивает только Происходит страховой случай Уровень собственного удержания Оставляет на собственном удержании ущерб до 3

Модель коллективных рисков – среднее число страховых случаев за год – число страховых случаев за год – суммарные выплаты страховщика 4

Аналитическая формула В работе получена аналитическая формула для функции распределения суммы выплат в случае, когда ущерб имеет равномерное распределение. Вот эта формула для распределения суммы выплат по страховым случаям: 5

Распределение выплат в модели коллективных рисков 6 Число страховых случаев является случайной величиной с пуассоновским распределением согласно модели коллективных рисков. Поэтому функция распределения страховых выплат имеет вид:

Точность вычислений В работе показано, что для вычисления приведенной выше бесконечной суммы с точностью, достаточно вычислить лишь первых слагаемых, где должно удовлетворять следующим условиям: 7

Равномерное распараллеливание вычислений Если функцию G(x) надо вычислять для различных значений x и r, то наиболее оптимальным будет разделение вычислений по параметру x. Такое распараллеливание будет равномерным, потому что вычисление G(x) в одной точке x 1 ничем не отличается от ее вычисления в другой точке x 2. 8

Оптимизация вычислений Вычисления можно оптимизировать, если заметить: То есть для каждого значения n достаточно сначала вычислить, а остальные вычислять простым сложением с. Слагаемые тоже можно вычислять эффективнее: Причем множитель нужно вычислить только один раз, так как он не зависит от j. 9

Распараллеливание по параметру n Приведенное выше равномерное распараллеливание невозможно если функцию нужно вычислить при одном значении x. В этом случае можно организовать разделение вычислений по параметру n. Вследствие оптимизаций имеем следующие независимые цепочки вычислений: Время вычисления цепочек различно, поэтому используем стратегию пула потоков. Каждый поток должен брать самую длинную цепочку из оставшихся для вычисления до тех пор, пока не останется ни одной не вычисленной цепочки 10

Оптимизация распараллеливания Зависимости от можно избежать, если заставить потоки из пула вычислять не, а лишь между которыми нет никаких зависимостей. Вычисление тем дольше, чем больше значение k, поэтому каждый поток должен вычислять с наибольшим значением k из оставшихся до тех пор, пока не останется ни одной не вычисленной. Такой алгоритм дает более равномерное распределение нагрузки между потоками и наименьшее общее время исполнения. 11

Заключение В работе получена аналитическая формула для сложного распределения страховых выплат. Это аналитическое решение может применяться во многих задачах, связанных с перестрахованием. Разработан эффективный алгоритм вычисления функции распределения. Алгоритм оптимизирован для вычислений на многопроцессорных архитектурах и кластерах. 12

Спасибо за внимание!