7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г. Лекция 6. Сумма и произведение вероятностей 6-1 Задача про шары 6-2 Сложение вероятностей 6-3 Произведение вероятностей 6-4 Формула полной вероятности 6-5 Формула Байеса

2 Иванов О.В., Соколихин А.А На прошлой лекции… Дали определение вероятности: классическое, статистическое и субъективное. Рассмотрели несколько формул из комбинаторики.

7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г. 6-1 Задача про шары Классическое определение вероятности Формулы комбинаторики

4 Иванов О.В., Соколихин А.А Решим задачу Имеется 5 синих шаров и 3 красных. Выбирается 4 шара. Какова вероятность, что среди них 3 синих?

5 Иванов О.В., Соколихин А.А Решаем … Будем использовать формулу классического определения вероятности: число благоприятных исходов P(A) = общее число исходов

6 Иванов О.В., Соколихин А.А Сначала вычислим общее число исходов Имеется восемь шаров. Выбирается 4 шара. Сколькими способами из восьми шаров можно выбрать четыре?

7 Иванов О.В., Соколихин А.А Сначала вычислим общее число исходов Сочетания из 8 по 4:

8 Иванов О.В., Соколихин А.А Теперь число благоприятных исходов Из 5 синих шаров и 3 красных мы выбираем 3 синих и 1 красный. Сколькими способами из пяти синих можно выбрать три? Сколькими способами из трех красных можно выбрать один?

9 Иванов О.В., Соколихин А.А Из 5 синих шаров и 3 красных мы выбираем 3 синих и 1 красный. 2. Теперь число благоприятных исходов х

10 Иванов О.В., Соколихин А.А Подставляем в формулу Ответ. С вероятностью 3/7.

11 Иванов О.В., Соколихин А.А Могли бы вычислить все исходы P = 1/14 P = 3/7 P = 1/14 Сумма = 1

12 Иванов О.В., Соколихин А.А Интерпретация Из восьми восьмиклассников (пяти девушек и трех юношей) четыре пошли в турпоход. Какова вероятность, что среди них есть хотя бы один юноша? Пользуясь вычисленными вероятностями над сложить вероятности трех событий: 3/7 + 3/7 + 1/14 = 13/14. Еще один способ: вычесть 1/14 (когда юношей нет) из единицы. Это есть сумма вероятностей и вероятность обратного события, которые мы рассмотрим подробнее.

7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г. 6-2 Сложение вероятностей 6-2 Сложение вероятностей Для несовместных событий Для совместных событий Противоположное событие

14 Иванов О.В., Соколихин А.А Правило сложения (несовместные события) Если события несовместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) Событие А Событие B

15 Иванов О.В., Соколихин А.А Пример В урне 20 шаров: 7 синих, 5 красных, остальные черные. Выбираем случайно один шар. С какой вероятностью он будет цветным? 20 шаров 1 шар

16 Иванов О.В., Соколихин А.А Пример События: A = { взят синий шар } В = { взят красный шар } А + В = { взят синий или красный шар } Вероятности: Р(А) = 7/20 Р(В) = 5/20 Поскольку события А и В несовместны, следовательно: Р(А+В) = 7/20 + 5/20 = 12/20 = 0,6

17 Иванов О.В., Соколихин А.А Правило сложения (совместные события) Если два события совместны, то вероятность их суммы находится как сумма вероятностей этих событий минус вероятность их пересечения: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) AB A B E

18 Иванов О.В., Соколихин А.А Научный семинар В аудитории на научном семинаре присутствуют 6 экономистов и 10 философов. Среди них 7 философов и 3 экономиста женщины. ЖенщиныМужчиныВсего Философы Экономисты Всего Какова вероятность того, что случайно выбранный участник семинара окажется философом или мужчиной?

19 Иванов О.В., Соколихин А.А Научный семинар. Решение Нас интересует вероятность суммы двух событий: A = { выбран философ } B = { выбран мужчина } ЖенщиныМужчиныВсего Философы Экономисты Всего Р(A + B) = Р(A) + Р(B) – Р(AB) = 10/16 + 5/16 – 3/16 = 12/16 Ответ. Вероятность равна 12/16.

20 Иванов О.В., Соколихин А.А Противоположное событие Противоположное событие включает все элементарные исходы, которые не включает А. Вероятность противоположного события: Событие А Событие не A E

21 Иванов О.В., Соколихин А.А Противоположное событие Нет красных 1/7 Хотя бы один красный 6/7 Сумма = 1

7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г. 6-3 Умножение вероятностей Независимые события Зависимые события Условная вероятность

23 Иванов О.В., Соколихин А.А Независимые события События называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого. Если события не являются независимыми, то говорят, что они зависимы.

24 Иванов О.В., Соколихин А.А Правило умножения (независимые события) Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

25 Иванов О.В., Соколихин А.А Условная вероятность Условной вероятностью называется вероятность события В при условии, что событие А наступило. Обозначается:

26 Иванов О.В., Соколихин А.А Правило умножения (зависимые события) Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие произошло:

27 Иванов О.В., Соколихин А.А Два шара из десяти В урне находится десять шаров, из них 4 красных и 6 синих. Выбрали один шар и, не возвращая его в урну, выбираем второй. Какова вероятность того, что оба выбранных шара окажутся синими? 2 шара10 шаров

28 Иванов О.В., Соколихин А.А Два шара из десяти P(A) = P(первый шар синий) = 6/10 P(B/A) = P(второй шар синий / первый синий) = 5/9 P(AB) = P(A)· P(B/A) = P(оба синих) = 6/10 х 5/9 = 1/3 2 шара10 шаров

29 Иванов О.В., Соколихин А.А Формула для условной вероятности Условная вероятность вычисляется по следующей формуле:

30 Иванов О.В., Соколихин А.А Итак, сравним… Формула умножения вероятностей: Для независимых событий Для зависимых событий Последняя формула учитывает изменение вероятности второго события после того, как произошло первое.

7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г. 6-4 Формула полной вероятности Объяснение формулы Пример

32 Иванов О.В., Соколихин А.А Задача В первой урне было 4 красных и 6 синих шара. Во второй урне 3 красных и 5 синих. Два шара переложили из первой во вторую урну, и после этого из второй вытащили один шар. Какова вероятность, что он синий? 10 шаров8 шаров Какова вероятность?

33 Иванов О.В., Соколихин А.А Формула полной вероятности H1H1 E H2H2 A Если события H 1 и H 2 образуют полную группу событий, вероятность случайного события А находится по формуле полной вероятности:

34 Иванов О.В., Соколихин А.А Формула полной вероятности H1H1 E H2H2 HnHn H3H3 … A Если полная группа включает n событий, тогда формула полной вероятности имеет следующий вид:

35 Иванов О.В., Соколихин А.А Решаем задачу про шары Имеются три события, образующие полную группу: H 1 = { переложили два красных шара } H 2 = { переложили один красный и один синий шар } H 3 = { переложили два синих шара } Какова вероятность?

36 Иванов О.В., Соколихин А.А Решаем задачу про шары Находим вероятности этих событий: P(H 1 ) = 4/10 3/9 = 2/15 P(H 2 ) = 4/10 6/9 + 6/10 4/9 = 8/15 P(H 3 ) = 6/10 5/9 = 5/15 Какова вероятность?

37 Иванов О.В., Соколихин А.А Решаем задачу про шары Находим условные вероятности: P(A/H 1 ) = 5/10 P(A/H 2 ) = 6/10 P(A/H 3 ) = 7/10 Подставляем в формулу полной вероятности: P(A) = P(H 1 )P(A/H 1 ) + P(H 2 )P(A/H 2 ) + P(H 3 )P(A/H 3 ) = = 2/15 5/10 + 8/15 6/10 + 5/15 7/10 = = 31/50 = 0,62

7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г.7 ноября 2012 г. 6-5 Формула Байеса Объяснение формулы Пример

39 Иванов О.В., Соколихин А.А Обратная задача В первой урне было 4 красных и 6 синих шара. Во второй урне 3 красных и 5 синих. Два шара переложили из первой во вторую урну, и после этого из второй вытащили один шар. Он оказался синим. Какова вероятность, что переложили два красных? 10 шаров8 шаров Какова вероятность, что переложили красные?

40 Иванов О.В., Соколихин А.А Формула Байеса Для нахождения вероятности одного из событий полной группы при условии, что событие A уже произошло, используется формула Байеса:

41 Иванов О.В., Соколихин А.А Решаем обратную задачу Считаем вероятность по формуле Байеса:

42 Иванов О.В., Соколихин А.А Ответ С вероятностью 0,108 переложили два красных шара. Если найти все вероятности: Было Стало Два красных0,1330,108 Красный и синий0,5330,516 Два синих0,3330,376 Всего1,0001,000

43 Иванов О.В., Соколихин А.А Новая книга Джеймс Андерсон Дискретная математика и комбинаторика Вильямс 2003

44 Иванов О.В., Соколихин А.А Задание на 5 минут Автобус ходит по маршруту с интервалом 10 минут. Пассажир подходит к автобусной остановке в случайный момент времени. Какова вероятность, что он будет ждать не более 3 минут? Объясните свой ответ.