Решение квадратных уравнений Рассмотрим квадратное уравнение (1) Дискриминант корни (в случае )

Если в уравнении или неравенстве коэффициенты заданы не конкретными числами, а буквами, то эти буквы называют параметрами. Решить квадратное уравнение с параметром – это значит указать для каждого значения параметра множество корней квадратного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение: х²+5ах+4а²=0 Решение: D =25а²-16а²=9а² Рассмотрим 3 случая : D 0. 1)Dуравнение имеет один корень Х= Если, а=0, то х=-2,5 3)D>0: т.к. 9а²>0 а0 => уравнение имеет два различных корня: х= =-1, х= = = - 4. Если, а0, то х=-1, х=-4 Ответ: Если а=0, то х=-2,5; Если а0, то х=-1, х=-4.

Закрепление изученного материала Решить уравнение: p·х² + (1-p) ·х – 1=0. Докажите, что не существует такого значения параметра p, при котором уравнение х ²- pх + p -2 = 0 имело бы только один корень.

Домашнее задание: Задание : 1 При каких значениях параметра p уравнение х ²- pх+9=0 имеет единственное решение? Задание 2.Докажите,что при любом значении параметра p уравнение 3х ² - pх – 2 = 0 имеет два корня.

Уравнение получено из (1) делением на Введем обозначение Уравнение (2) называется приведенным квадратным уравнением.

Теорема Виета Пусть уравнение имеет действительные решения Тогда

Пример 1. Найти сумму и произведение корней уравнения Решение. 1) Проверка: имеет ли уравнение действительные корни? Уравнение имеет действительные корни. 2) Нахождение суммы и произведения корней уравнения с использованием теоремы Виета.

Пример 2. Найти сумму и произведение корней уравнения Решение. Проверка: имеет ли уравнение действительные корни? Уравнение не имеет действительных корней. Ответ. Уравнение не имеет действительных корней.

Пример 3. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения равно 10 ? Решение. 1) Найдем все значения параметра а, при которых уравнение имеет действительные решения. 2) По теореме Виета произведение корней уравнения равно 10, если 0 Решение системы: Ответ.

Применение теоремы Виета при исследовании свойств решений квадратных уравнений Уравнение (2) имеет корни одного знака, если Уравнение (2) имеет корни разных знаков, если Уравнение (2) имеет положительные корни, если Уравнение (2) имеет отрицательные корни, если

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни разных знаков ? Решение. 1) Найдем все значения параметра а, при которых уравнение имеет действительные решения. 2) Уравнение имеет корни разных знаков, если > 0 Решение системы: Ответ.

При каких значениях параметра а корни уравнения х² - 2(а-1)х + а + 5= 0 положительны? Решение Определим при каком значении параметра а уравнение имеет действительные корни D/4=(а-1)² - (а-5) = а² - 2а + 1 – а – 5 = а² - 3а – 4 а² - 3а – 4 0; D 0, Уравнение (2) имеет положительные корни, если q > 0, т.е. P < 0 а (- ; 1] U[4; +) а а (- ; 1] U[4; +) -2( а- 1) а – 1 > 0 а = 5 > 0 а > - 5 Ответ: при а (-5; 1]U[ 4 ; +) уравнение имеет положительные корни.

Закрепление изученного материала При каких значениях параметра p уравнение (p – 2)х² + 3х + p = 0 имеет корни одного знака имеет положительные корни имеет корни разных знаков имеет отрицательные корни. Домашнее задание: При каких значениях параметра p уравнение (p - 4) х² + (2 p – 4)х + p = 0 имеет корни одного знака, имеет корни разных знаков, имеет положительные корни, имеет отрицательные корни.

Дано уравнение х 2 –(2р 2 –р – 6)х +(8р – 1) = 0. Сумма его корней равна -5. Найдите значение параметра р. Решить уравнение с параметром (р -4)х 2 +(2р -4)х + р=0.

Пусть у=Ах²+Вх+С квадратичная функция, графиком которой является парабола; абсцисса вершины – Задача 1.Для того чтобы корни квадратного уравнения у=Ах²+Вх+С были меньше какого-либо числа d ( т.е х х0, х < d. d

Пусть у=Ах²+Вх+С квадратичная функция, графиком которой является парабола; абсцисса вершины – Задача 2.для того чтобы корни квадратного уравнения у=Ах²+Вх+С были больше какого-либо числа d ( т.е d 0, х > d. d

Пусть у=Ах²+Вх+С квадратичная функция, графиком которой является парабола; абсцисса вершины Задача 3. Для того, чтобы оба корня квадратного уравнения находились в интервале (d ; e ), необходимо и достаточно выполнение условий D0, А f(d) >0, А f(e) >0, d < х < e. х d e

Пусть у=Ах²+Вх+С квадратичная функция, графиком которой является парабола; абсцисса вершины Задача 4. Для того, чтобы число d находилось между корнями квадратного уравнения (.х< d 0, d

Пусть у=Ах²+Вх+С квадратичная функция, графиком которой является парабола; абсцисса вершины Задача 4. Для того, чтобы число d находилось между корнями квадратного уравнения (.х< d 0, d

Пусть у=Ах²+Вх+С квадратичная функция, графиком которой является парабола; абсцисса вершины – Задача 5.Для того, чтобы отрезок [d; e] лежал внутри интервала (х ; х), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие D>0, А f(d) >0, А f(e) >0. de

Литература 1. Журнал «Математика в школе» «Уравнения с параметрами ». 2. Алгебра: сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе./[ Л.В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. ]М. :Просвещение. 2010