a x 2 + b x + c = 0 x 2 + px + q = 0

Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х х – 24 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители: х х – 24 = х х - 2 х – 24 = х (х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)( х - 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)( х - 2) = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = Это означает, что числа 2 и -12 являются корнями уравнения х х – 24 = 0.

Метод выделения полного квадрата.

Поясним этот метод на примерах. Решим уравнение х х – 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х х *3. В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 9, так как х 2 + 2х*3 + 9 = (х + 3) 2 Преобразуем теперь левую часть уравнения: х 2 + 6х- 7 = 0, Прибавляя к ней и вычитая 9. Имеем: х х – 7 = х х *3 + 9 – 9 – 7 = (х + 3) 2 – 9 – 7 = (х + 3) Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3) 2 – 16 = 0, т.е. (х + 3) 2 = 16. Следовательно, х + 3=4, х = 1, или х + 3= - 4, х = - 7.

Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения a х 2 + b х + c = 0, a 0, на 4a и последовательно имеем: 4a х 2 + 4ab х + 4ac = 0, ((2a х) 2 + 4a хb + b 2 ) - b 2 + 4ac = 0, (2ax + b) 2 = b 2 - 4ac, 2ax + b = + sqrt(b 2 - 4ac), 2ax = -b + sqrt(b 2 - 4ac), x 1,2 = ( -b + sqrt(b 2 - 4ac))/2a

Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведённое квадратное уравнение имеет вид x 2 + px + q = 0 Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при a = 1 имеет вид x 1 x 2 = q x 1 + x 2 = -p Отсюда можно сделать следующие выводы a) Если свободный член q приведённого уравнения положителен (q>0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p. Если p>0, то оба корня отрицательны, если p

Решение уравнений способом переброски.

Рассмотрим квадратное уравнение аx 2 + bx + c = 0, где a 0. Умножая обе части на а, получаем уравнение а 2 x 2 + abx + ac = 0. Пусть ax = y, откуда x = y/a; тогда приходим к уравнению y 2 + by + ac = 0, Равносильно данному его корни y 1, y 2 найдём с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем x 1 = y 1 /a и x 2 = y 2 /a. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы перебрасывается к нему, поэтому его и называют способом переброски.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение a 2 x + bx + c = 0, где а 0. Если a + b + c = 0, то х 1 = 1, х 2 = с/а. Доказательство. Разделим обе части уравнения на а, получим приведённое квадратное уравнение x + bx/a + c/a = 0. Согласно теореме Виета x 1 + х 2 = (-b)/a, x 1 x 2 = c/a, По условию a + b + c = 0, откуда b = -a -c. Значит, x 1 +x 2 = -(-a - c)/a = 1 + c/a, x 1 x 2 =1c/a. Получаем х 1 = 1, х 2 = с/а, что и требовалось дoказать. Если a – b + c = 0,или b = a + c, то х 1 = -1, х 2 = -с/а Доказательство. По теореме Виета x 1 + х 2 = (-b)/a, x 1 x 2 = -1(-c/a), По условию a – b + c = 0, откуда b = a + c. Таким образом x 1 +х 2 = -(a + b)/a = -1 - c/a, x 1 x 2 = -1(-c/a), т.е х 1 = -1 и х 2 = -с/а, что и требовалось доказать.

Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении х 2 + рх + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = -рх - q Построим графики зависимостей у = х 2 и у = -рх - q. График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая. Возможны следующие случаи: -прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; -прямая и парабола могут касаться на одной точке, т.е. уравнение имеет одно решение; -прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. уравнение не имеет корней.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bx + c = 0 с помощью циркуля и линейки. Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х 1 ;0) и D(x 2 ;0), где х 1 и х 2 -корни уравнения ах 2 + bx + c = 0, и проходит через точки А(0;1) и С(0;с/а) на оси ординат. Тогда по теореме секущих имеем OB*OD = OA*OC, откуда ОС = OB*OD/OA = x 1 x 2 /1 = c/a. Центр окружности находится в точках пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому SK = (x 1 + x 2 )/2 = (-b/a)/2 = -b/2a SF = (y 1 + y 2 )/2 = (1+(c/a))/2 = (a + c)/2a.

Итак: построим точки S(-b/2a; (a+c+/2a)(центр окружности) и А(0;1); Проведём окружность с радиусом SA; Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения При этом возможны три случая. 1)Радиус окружности больше ординаты центра, окружность пересекает ось Ох в двух точках х1 и х2 и они являются корнями квадратного уравнения. 2)Радиус окружности равен ординате центра, окружность касается оси Ох в одной точке, и он является корнем квадратного уравнения. 3)Радиус окружности меньше ординаты центра, окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам: ОВ = а/(1 + z), AB = -z2/(1 + z). Полагая ОС = р, ED = q, OE = a, из надобия треугольника САН и CDF получаем пропорцию (p - q)/(p - AB) = a/OB, откуда после постановок и упрощений вытекает уравнение x2 + pz + q = 0, причём буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы. Номограмма даёт значения положительных корней уравнения z2 + pz + q = 0. Если это уравнение имеет корни разных знаков, то, найдя по номограмме положительный корень, отрицательный находят, вычитая положительный из –р. В случае, когда оба корня отрицательны, берут z= -t и находят по номограмме два положительных корня t1 и t2 уравнения t2 – pt +q = 0, а затем z1 = -t1, z2 = -t2. Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкал, выполняют постановку z = kt и решают посредством номограммы уравнение t2 + pt/k + q/k2=0, где k берётся с таким расчётом, чтобы имели неравенства: -12,6 < p/k < 12,6; -12,6 < q/k2 < 12,6

Геометрический способ решения квадратных уравнений

Изучим этот способ на примере. Рассмотрим уравнение х2 + 10х = 39. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 5/2, следовательно, площадь каждого равна 5х/2. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах 4 равных квадрата, сторона каждого из них 5/2, а площадь 25/4. Площадь квадрата можно представить как сумма площадей: первоначального квадрата х, четырёх прямоугольников(4*5х/2=10х) и четырёх пристроенных квадратов(4*25/4=25), т.е. S=х2 + 10х Заменяя х2 + 10х числом 39, получим, что S=39+25=64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ =8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим х=8-5/2-5/2=3.