Дифференциальные уравнения высших порядков Теорема о наложении решений Системы дифференциальных уравнений 1/91/9

Теорема о наложении решений 2/92/9 Теорема Если правая часть ЛНДУ ( о наложении решений) представляет собой сумму двух функций: а y 1 * и y 2 * - частные решения уравнений: то функция y = y 1 * + y 2 * является решением уравнения (1) (1) (2) (3) Уравнения (2) и (3) могут решаться методом вариации произвольных постоянных или методом неопределенных коэффициентов в зависимости от вида правых частей.

Теорема о наложении решений 3/93/9 Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Найдем частное решение уравнения: f 1 (x)f 2 (x)

Теорема о наложении решений 4/94/9 Найдем частное решение уравнения:

5/95/9 Общее решение исходного уравнения запишется в виде;

Системы дифференциальных уравнений 6/9 Системой дифференциальных уравнений называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные. Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, то есть система вида: называется нормальной системой ДУ. Одним из основных методов интегрирования нормальных систем является метод сведения системы к одному ДУ n – ого порядка.

Системы дифференциальных уравнений 7/97/9 Продифференцируем первое уравнение: Подставим z из второго уравнения системы Из первого уравнения системы выразим z через y и y и подставим в полученное уравнение: Найти общее и частное решение системы, удовлетворяющей начальным условиям: y(0) = 1; z(0) = 3

Системы дифференциальных уравнений 8/98/9 Продифференцируем полученное ЛОДУ второго порядка: Найдем функцию z из соотношения:

9/99/9 Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1; z(0) = 2 Частное решение: