1 Институт проблем безопасного развития Атомной энергетики Российской академии наук Потоковая схема для уравнений параболического типа на неструктурированных косоугольных расчетных сетках Якутск Головизнин В.М.

2 Уравнение конвекции - диффузии Дивергентная форма записи Индуктивная теплопроводность Начальные условия Граничные условия

3 Ортогональные сетки, простейшие аппроксимации Аппроксмация «простой крест» Аппроксмация «косой крест»

4 Косоугольные сетки. Метод опорных операторов Сеточный оператор градиента С1С1 С2С2 С3С3 С4С С1С1 С2С2 С3С3 С4С4

5 Косоугольные сетки. Метод опорных операторов Сеточный оператор дивергенции R R L L T T B B

6 Косоугольные сетки. Метод опорных операторов Сеточный оператор Лапласа

7 Уравнение теплопроводности в потоковой форме Криволинейные координаты Локальный базис Дуальный базис

8 Уравнение теплопроводности в потоковой форме Коэффициенты разложения теплового потока по базису будем называть контравариантными компонентами потока. В терминах этих компонент дивергенция в криволинейных координатах будет иметь вид:

9 Уравнение теплопроводности в потоковой форме где

10 Уравнение теплопроводности в потоковой форме Квадрат модуля потока в контравариантных компонентах представляется квадратичной формой: где

11 Уравнение теплопроводности в потоковой форме Закон Фурье в криволинейных координатах Уравнение баланса тепла

12 Аппроксимация по времени уравнения теплопроводности в потоковой форме Аппроксимация закона Фурье Аппроксимация уравнения баланса тепла

13 Устойчивость по начальным данным Условия устойчивости для модельной системы Умножая второе уравнение на и интегри- руя по частям, находим

14 Устойчивость по начальным данным Еще одно интегрирование по частям дает: Выражая дивергенцию из уравнения баланса, находим: Учитывая, что, получаем

15 Устойчивость по начальным данным В результате интеграл приводится к виду: Представим его в виде Условия, при которых оператор остается положительно определенным можно получить из теоремы Геошгорина. Это дает оценку

16 Особенности вычислительного алгоритма Если в уравнение баланса подставить закон Фурье, приходим к алгебраической системе уравнения с семи- диагональной самосопряженной положительно опре- деленной матрицей.

17 Одномерная нестационарая тестовая задача в единичном кубе В качестве эталонного решения бралось численное решение этой задачи на ортогональной мелкой сетке В качестве контрольных точек, в которых проводится сравнение результатов трехмерных расчетов с точным решением, везде ниже используются точки (x, y, z) = (0.25, 0.25, 0.5) – точка 1 (x, y, z) = (0.5, 0.5, 0.5) – точка 2

18 Тестовые расчеты Неравномерные в плоскости XY сетки Nx*Ny*Nz = 20*20*10, умеренно неоднородные (а) и сильно неоднородные (б) по Z

19 Одномерная нестационарая тестовая задача в единичном кубе

20 Спасибо за внимание