Проект на тему: Решение уравнений II,III,IV степени. Выполнил: Сармутдинов Талгат «10а» Проверила: Яковлева Т.П.

План: 1) Квадратные уравнения. 2) Теорема Виета. 3) Из истории. 4) Формула Кардано. 5) Метод Феррари.

Решение уравнений II,III,IV-й степеней по формуле. Уравнения первой степени, т.е. линейные, нас учат решать ещё с первого класса, и особого интереса к ним не проявляют. Интересны нелинейные уравнения т.е. больших степеней. Среди нелинейных ( уравнений общего вида, не решающихся разложением на множители или каким-либо другим относительно простым способом ) уравнения низших степеней (2,3,4- й) можно решить с помощью формул. Уравнения 5-й степени и выше неразрешимы в радикалах (нет формулы). Поэтому мы рассмотрим только три метода.

I. Квадратные уравнения. Формула Виета. Дискриминант квадратного трехчлена. I. Квадратные уравнения. Формула Виета. Дискриминант квадратного трехчлена. Для любого приведённого кв. уравнения справедлива формула : Для любого приведённого кв. уравнения справедлива формула : Обозначим: D=p-4q тогда формула примет вид: Обозначим: D=p-4q тогда формула примет вид: Выражение D называют дискриминантом. При исследовании кв. трехчлена смотрят на знак D. Если D>0,то корней 2; D=0, то корень 1; если D 0,то корней 2; D=0, то корень 1; если D

II. Теорема Виета Для любого приведённого кв. уравнения Для любого приведённого кв. уравнения Справедлива теорема Виета: Для любого уравнения n-ой степени теорема Виета также справедлива: коэффициент взятый с противоположным знаком, равен сумме его n корней; свободный член равен произведению n его корней и числа (-1) в n степени. Для любого уравнения n-ой степени теорема Виета также справедлива: коэффициент взятый с противоположным знаком, равен сумме его n корней; свободный член равен произведению n его корней и числа (-1) в n степени.

Вывод формулы Виета. Запишем формулу квадрата суммы Запишем формулу квадрата суммы И заменим в ней a на х, b на И заменим в ней a на х, b на Получим: Получим: Теперь отсюда вычтем первоначальное равенство: Теперь отсюда вычтем первоначальное равенство: Теперь нетрудно получить нужную формулу. Теперь нетрудно получить нужную формулу.

Пример :

III. Из истории. В XV-XVI вв. расцвет науки происходит главным образом в Италии, во Франции и в Германии, а позднее, - в конце 16 в., - в Голландии, которая в это время переживала первую в Европе буржуазную революцию.

Итальянские математики 16 в. сделали крупнейшее математическое открытие. Они нашли формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Рассмотрим произвольное кубическое уравнение: И покажем, что с помощью подстановки его можно преобразить к виду Пусть Получим: Положим т.е. Тогда данное уравнение примет вид

В 16 в. было распространено соревнование между учеными, проводившееся в форме диспута. Математики предлагали друг другу определенное число задач, которые нужно было решить к началу поединка. Выигрывал тот, кто решил большее число задач. Антонио Фиоре постоянно участвовал в турнирах и всегда выигрывал, так как владел формулой для решения кубических уравнений. Победитель получал денежное вознаграждение, ему предлагали почетные, высоко оплачиваемые должности.

IV. Тарталья преподавал математику в Вероне, Венеции, Брешии. Перед турниром с Фиоре он получил от противника 30 задач, увидев,что все они сводятся к кубическому уравнению И приложил все силы для его решения. Отыскав формулу, Тарталья решил все задачи, преложенные ему Фиоре, и выиграл турнир. Через день после поединка он нашел формулу для решения уравнения Это было величайшее открытие. После того как в Древнем Вавилоне была найдена формула для решения квадратных равнений, выдающиеся математики в течение двух тысячелетий безуспешно пытались найти формулу для решений кубических уравнений. Метод решения Тарталья держал втайне. Рассмотрим уравнение Тарталья использовал подстановку

Из уравнения он получил: Для u и v получена система Значит, они являются корнями квадратного уравнения Следовательно, для отыскания х имеем формулу

Ее называют сейчас формулой Кардано, так как она впервые была опубликована в 1545 г. в книге Кардано «Великое искусство, или Об алгебраических правилах». Джироламо Кардано ( ) окончил университет в Падуе. Его главным занятием была медицина. Кроме того, он занимался философией, математикой, астрологией, составлял гороскопы Петрарки, Лютера, Христа, английского короля Эдуарда 6. Папа римский пользовался услугами Кардано - астролога и покровительствовал ему. Кардано умер в Риме. Существует легенда, что он покончил жизнь самоубийством в тот день, который предсказал, составляя собственный гороскоп, как день своей смерти.

Кардано неоднократно обращался к Тарталье с просьбой сообщить ему формулу для решения кубических уравнений и обещал хранить ее тайну. Он не сдержал слова и опубликовал формулу, указав, что Тарталье принадлежит честь открытия «такого прекрасного и удивительного, превосходящего все таланты человеческого духа». В книге Кардано «Великое искусство…» опубликована также формула для решения уравнений четвертой степени, которую открыл Луиджи Феррари ( )- ученик Кардано, его секретарь и поверенный.

V. Изложим метод Феррари. Запишем общее уравнение четвертой степени: С помощью подстановки его можно привести к виду Используя метод дополнения до полного квадрата, запишем: Феррари ввел параметр и получил: Отсюда Учитывая, получим В левой части уравнения стоит полный квадрат, а в правой - квадратный трехчлен относительно х. Чтобы правая часть была полным квадратом, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена равнялся нулю, т.е. число t должно удовлетворять уравнению

Кубические уравнения Феррари решил по формуле Кардано. Пусть - корень уравнения. Тогда уравнение запишется в виде Кубические уравнения Феррари решил по формуле Кардано. Пусть - корень уравнения. Тогда уравнение запишется в виде Отсюда получаем два квадратных уравнения: Отсюда получаем два квадратных уравнения: Они дают четыре корня исходного уравнения. Они дают четыре корня исходного уравнения.

Приведем пример. Рассмотрим уравнение Легко проверить, что -корень этого уравнения. Естественно считать, что, используя формулу Кардано, мы найдем этот корень. Проведем вычисления, учитывая, что По формуле находим: Как понять выражение На этот вопрос первым ответил инженер Рафаэль Бомбелли (ок ), работавший в Болонье В 1572 г. он издал книгу «Алгебра», в которую ввел в математику число i, такое, что Бомбелли сформулировал правила операций с числом Согласно теории Бомбелли,выражение можно записать так: А корень уравнения, имеющий вид, можно записать так:

Вывод: Изучая данную тему, я пришёл к выводу, что существуют формулы для решения уравнений II, III, IV степеней, не входящие в школьный курс математики. Корни уравнения не всегда действительные числа.

Список использованной литературы: 1) Энциклопедия для школьников. Математика 1998 г. 1) Энциклопедия для школьников. Математика 1998 г. 2) История математики. К.А. Рыбников 2) История математики. К.А. Рыбников