Комплексные числа

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

Понятие комплексного числа Х+А=В - недостаточно положительных чисел А·Х + В=0 (А0) – разрешимы на множестве рац.чисел Х²=2 или Х³=5 - корни - иррациональные числа Х+5=2

Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа

Решение квадратных уравнений А · Х²+ В ·Х+ С =0 При D

Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа + Комплексные числа

Вид комплексного числа Х²=-1 Х= i -корень уравнения i- комплексное число, такое, что i²=-1 А + В· i ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ

А и В – действительные числа i- некоторый символ, такой, что i²= -1 А – действительная часть В – мнимая часть i – мнимая единица А + В· i

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Модуль комплексного числа Z=А - В· i СОПРЯЖЕННОЕ Z= А + В· i (Z) = Z Комплексно сопряженные числа. Z = A + B i =

Тригонометрическая форма комплексного числа Z =r φ- аргумент аргумент комплексного числа Z=r cos φ + i Z sin φ = = r (cos φ+ i sin φ) Для Z=0 аргумент не определяется

Т.к Z =r = Z= А + В· i= cosφ+i sinφ

Сложение и умножение комплексных чисел Алгебраическая форма Геометрическая форма Сумма (A+iB) + (C+iD)= (A+C)+(B+D)I Произведение Z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ) Z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) Z 1 ·Z 2 = r 1 r 2 [cos( φ 1 + φ 2 )+isin ( φ 1 + φ 2 )] Произведение (A+iB) · (C+iD)= (AC-BD)+(AD+BC)i

Если Z 1 = Z 2, то получим Z²=[r (cos φ+ i sin φ)]²= r² (cos2 φ+ i sin 2φ) Z³= Z²·Z=[r (cos φ+ i sin φ)]²·r (cos φ+ i sin φ)= r³ (cos3 φ+ i sin 3φ) Формула Муавра Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)0 и любого натурального числа n

Число Z называется корнем степени n из числа ω (обозначается ), если (*) Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения является корнем степени n из числа ω. Z= r (cos φ+ i sin φ) ω= ρ (cos ψ+ i sin ψ) Вторая формула Муавра

Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n-корней. Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень

Пример: Решить уравнение:

Свойства сложения и умножения Переместительное свойство: Сочетательное свойство: Распределительные свойство: Z 1 + Z 2 = Z 1 + Z 2 Z 1 · Z 2 = Z 1 · Z 2 Z 1 · (Z 2 + Z 3 )= Z 1 · Z 2 + Z 1 · Z 3 (Z 1 + Z 2 )+Z 3 = Z 1 +( Z 2 +Z 3 )(Z 1 · Z 2 ) · Z 3 = Z 1 ·( Z 2 · Z 3 )

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Вычитание и деление комплексных чисел Z+ Z 2 = Z 1 Вычитание – операция, обратная сложению: Z+ Z 2 +(- Z 2 )= Z 1 +(- Z 2 ) Z= Z 1 - Z 2 –разность Деление – операция, обратная умножению: Z · Z 2 = Z 1 Разделив обе части на Z 2 получим:

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Примеры: Найти разность и частное комплексных чисел Решение:

Литература Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др/ Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г, Колмагоров А.Н., Абрамов, Дудицин/ Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г НикольскийС.М., Потапов Н.К, и др. Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г