5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г. Лекция 6. Сравнение двух выборок 6-1. Гипотеза о равенстве средних. Парные выборки 6-2.Доверительный интервал для разности средних. Парные выборки 6-3. Гипотеза о равенстве дисперсий 6-4. Гипотеза о равенстве долей 6-5. Доверительный интервал для разности долей

2 Иванов О.В., 2005 В этой лекции… В предыдущей лекции мы проверяли гипотезу о равенстве средних двух генеральных совокупностей и построили доверительный интервал для разности средних для случая независимых выборок. Теперь мы рассмотрим критерий проверки гипотезы о равенстве средних и построим доверительный интервал для разности средних в случае парных (зависимых) выборок. Затем в секции 6-3 будет проверяться гипотеза о равенстве дисперсий, в секции 6-4 – гипотеза о равенстве долей. В заключение мы построим доверительный интервал для разности долей.

5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г Гипотеза о равенстве средних. Парные выборки Постановка проблемы Гипотезы и статистика Последовательность действий Пример

4 Иванов О.В., 2005 Парные выборки. Описание проблемы Что мы имеем 1. Две простые случайные выборки, полученные из двух генеральных совокупностей. Выборки являются парными (зависимыми). 2. Обе выборки имеют объем n 30. Если нет, то обе выборки взяты из нормально распределенных генеральных совокупностей. Что мы хотим Проверить гипотезу о разности средних двух генеральных совокупностей:

5 Иванов О.В., 2005 Статистика для парных выборок Для проверки гипотезы используется статистика: где - разность между двумя значениями в одной паре - генеральное среднее для парных разностей - выборочное среднее для парных разностей - стандартное отклонение разностей для выборки - число пар

6 Иванов О.В., 2005 Пример. Тренинг студентов Группа из 15 студентов прошла тест до тренинга и после. Результаты теста в таблице. Проверим гипотезу для парных выборок на отсутствие влияния тренинга на подготовку студентов на уровне значимости 0,05. Решение. Подсчитаем разности и их квадраты. СтудентДоПосле Σ= 21 Σ= 145

7 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 1. Основная и альтернативная гипотезы: Шаг 2. Задан уровень значимости =0,05. Шаг 3. По таблице для df = 15 – 1=14 находим критическое значение t = 2,145 и записываем критическую область: t > 2,145.

8 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 4. По выборке вычисляем среднее значение и стандартное отклонение выборочных разностей, а затем выборочное значение статистики.

9 Иванов О.В., 2005 Решение Статистика принимает значение: Шаг 5. Сравним полученное значение с критической областью. 1,889 < 2,145. Полученное значение статистики не попало в критическую область. Шаг 6. Формулируем вывод. Мы не имеем достаточных оснований, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Это означает, что влияние тренинга не значимо на уровне значимости 0,05.

5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г Доверительный интервал для разности средних. Парные выборки Постановка задачи Метод построения доверительного интервала Пример

11 Иванов О.В., 2005 Описание проблемы Что мы имеем Имеем две случайные парные (зависимые) выборки объема n из двух генеральных совокупностей. Генеральные совокупности имеют нормальный закон распределения с параметрами 1, 1 и 2, 2 либо объемы обеих выборок 30. Что мы хотим Оценить среднее значение парных разностей для двух генеральных совокупностей. Для этого построить доверительный интервал для среднего в виде:

12 Иванов О.В., 2005 Доверительный интервал Среднее разности парных значений между двумя генеральными совокупностями с надежностью 1- /2 находится в доверительном интервале: Точность оценки находится по формуле:

13 Иванов О.В., 2005 Пример Выборка включает 15 студентов, следовательно df = 15 – 1 = 14. Находим t-значение по таблице для доверительной вероятности 95% ( /2 = 2,5): Точность оценки: Доверительный интервал:

5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г Гипотеза о равенстве дисперсий Постановка проблемы Гипотезы и статистика Последовательность действий Пример

15 Иванов О.В., 2005 В ходе исследования… Исследователю может понадобиться проверить предположение, о равенстве дисперсий двух изучаемых генеральных совокупностей. В случае, когда эти генеральные совокупности имеют нормальное распределение, для этого существует F-критерий, называемый также критерием Фишера. В отличие от Стьюдента, Фишер не работал на пивном заводе.

16 Иванов О.В., 2005 Описание проблемы Что мы имеем 1. Две простые случайные выборки, полученные из двух нормально распределенных генеральных совокупностей. 2. Выборки являются независимыми. Это значит, что между субъектами выборок нет связи. Что мы хотим Проверить гипотезу о равенстве дисперсий генеральных совокупностей:

17 Иванов О.В., 2005 Обозначения Дисперсии генеральных совокупностей: Дисперсии двух выборок: Объемы двух выборок: Подбираем так, чтобы выполнялось:

18 Иванов О.В., 2005 Гипотеза Нулевая гипотеза: Альтернативная гипотеза: Других альтернативных гипотез в этом критерии не рассматривается.

19 Иванов О.В., 2005 Статистика Для проверки гипотезы используется статистика: Если гипотеза верна, эта статистика имеет F-распределение (распределение Фишера) с числом степеней свободы: числителя знаменателя

20 Иванов О.В., 2005 F-распределение k 1 =1, k 2 =4 k 1 =10, k 2 =50 k 1 =4, k 2 =100

21 Иванов О.В., 2005 Критическая область Альтернативная гипотеза: Уравнение критической области: Критическое значение находим по таблице F-распределения

22 Иванов О.В., 2005 Таблицы F-распределения Критические значения находим по таблице F-распределения. Например, критическое значение для двух выборок объема 14 и 10 равно 2,71. Таблицы «трехмерные». Учитесь пользоваться!

23 Иванов О.В., 2005 Пример Исследователь-медик хочет проверить, есть ли различие между частотой биения сердца курящих и некурящих пациентов (кол-во ударов в минуту). Результаты двух случайно отобранных групп приведены ниже. Используя α = 0,05, выясните, прав ли медик. КурящиеНе курящие

24 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 1. Основная и альтернативная гипотезы: Шаг 2. Задан уровень значимости =0,05. Шаг 3. По таблице для количества степеней свободы числителя 25 и знаменателя 17 находим критическое значение f = 2,19 и критическую область: f > 2,19. Шаг 4. По выборке вычисляем значение статистики:

25 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 5. Сравним полученное значение с критической областью: Полученное значение статистики попало в критическую область. Шаг 6. Формулируем вывод. Различие дисперсий двух генеральных совокупностей значимо.

5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г Гипотеза о равенстве долей Постановка проблемы Гипотезы и статистика Последовательность действий Пример

27 Иванов О.В., 2005 Вопрос Из 100 случайно отобранных студентов социологического факультета 43 посещают спецкурсы. Из 200 случайно отобранных студентов-экономистов 90 посещают спецкурсы. Отличается ли доля студентов, посещающих спецкурсы, на социологическом и экономическом факультетах? Похоже, что существенно не отличается. Как это проверить? Доля посещающих спецкурсы – доля признака. 43 – количество «успехов». 43/100 – доля успехов. Терминология такая же, как в схеме Бернулли.

28 Иванов О.В., 2005 Описание проблемы Что мы имеем 1. Две простые случайные выборки, полученные из двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Выборки являются независимыми. 2. Для выборок выполнено np 5 и nq 5. Это означает, что, по крайней мере, 5 элементов выборки имеют изучаемое значение признака, и, по крайней мере, 5 не имеют. Что мы хотим Проверить гипотезу о равенстве долей признака в двух генеральных совокупностях:

29 Иванов О.В., 2005 Обозначения - объемы выборок - количество «успехов» в каждой выборке - доля «успехов» в первой выборке - доля «успехов» во второй выборке - общая доля «успехов» в обеих выборках

30 Иванов О.В., 2005 Статистика В качестве статистики выбираем следующую случайную функцию: Для проверки гипотезы пользуемся таблицей нормального распределения.

31 Иванов О.В., 2005 Пример. Спецкурсы двух факультетов Из 100 случайно отобранных студентов социологического факультета 43 посещают спецкурсы. Из 200 студентов-экономистов 90 человек посещают спецкурсы. На уровне значимости = 0,05, проверьте гипотезу о том, что нет различия между долей посещающих спецкурсы на двух этих факультетах.

32 Иванов О.В., 2005 Решение Вычислим необходимые значения:

33 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 1. Основная и альтернативная гипотезы: Шаг 2. Задан уровень значимости =0,05. Шаг 3. По таблице нормального распределения находим критические значения z = – 1,96 и z = 1,96 строим критическую область: z 1,96. Шаг 4. По выборке вычисляем значение статистики.

34 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 5. Сравним полученное значение с критической областью. Полученное значение статистики не попало в критическую область. Шаг 6. Формулируем вывод. Нет оснований отвергнуть основную гипотезу. Доля посещающих спецкурсы не отличается статистически значимо.

5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г Доверительный интервал для разности долей Постановка задачи Метод построения доверительного интервала Пример

36 Иванов О.В., 2005 Доверительный интервал для разности долей Доля значений признака в генеральной совокупности с надежностью 1- /2 находится в доверительном интервале: где

37 Иванов О.В., 2005 Пример Предположим, по результатам исследования 40% из 200 мужчин и 56% из 100 женщин высказались против смертной казни. Найдите 95%-ый доверительный интервал для действительной разности долей. Решение. На семинаре.