Курс математической статистики Лекционный материал Преподаватель – В.Н. Бондаренко

Содержание Тема 4. Статистическая проверка статистических гипотез 1.Понятие статистической гипотезы и ее виды 2.Ошибки первого и второго рода 3.Проверка нулевой гипотезы 4.Множество значений гипотезы. Критические точки. 5.Правосторонняя критическая область 6.Левосторонняя и двусторонняя критические области

4.1 Понятие статистической гипотезы и ее виды Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Различают выдвинутую и противоречащую ей гипотезы. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H 0. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу H 1, которая противоречит нулевой. Пример: Нулевая гипотеза состоит в предположении, что математическое ожидание a нормального распределения равно 10. Конкурирующая гипотеза состоит в предположении, что a 10. Короткая запись – H 0 : a = 10; H 1 : a 10

4.1 Понятие статистической гипотезы и ее виды Различают гипотезы, которые содержат только одно и более одного предположений. Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Пример 1: Если λ – параметр показательного распределения, то гипотеза H 0 : λ = 5 – простая, а сложная гипотеза H: λ > 5, т.к. состоит из бесчисленного множества простых гипотез. Пример 2: Гипотеза H 0 : математическое ожидание нормального распределения равно 3 (σ известно) – простая, а гипотеза H 0 : математическое ожидание нормального распределения равно 3 (σ неизвестно) – сложная.

4.2 Ошибки первого и второго рода Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость статистической проверки гипотезы. При проверке правильное решение может быть принято в двух случаях: 1)Гипотеза принимается, причем и в действительности она правильная 2)Гипотеза отвергается, причем и в действительности она неверна При проверке неправильное решение может быть принято также в двух случаях, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

4.3 Проверка нулевой гипотезы Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Случайную величину, которая служит для проверки нулевой гипотезы, называют статистическим критерием К (или просто критерием). Пример: Для проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей в качестве критерия принимают отношение исправленных выборочных распределений, случайную величину, которая распределена по закону Фишера-Снедекора:

4.3 Проверка нулевой гипотезы Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значение входящих в критерий величин и получают частное (наблюдаемое) значение критерия Значение критерия, вычисленное по выборкам, называют наблюдаемым значением критерия К набл. Пример: Если по двум выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии 20 и 5, соответственно, то наблюдаемое значение критерия:

4.4 Множество значений гипотезы. Критические точки После выбора статистического критерия множества всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: Критическая область – совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Область принятия гипотезы (допустимых значений) – совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез: Если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если значения критерия принадлежит области допустимых значений гипотезы – гипотезу принимают.

4.4 Множество значений гипотезы. Критические точки Критическая область и область принятия гипотезы являются интервалами и есть точки, которые их разделяют. Точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называют критическими точками k кр (границами). Различают одностороннюю (лево- и правостороннюю) и двустороннюю критические области: Правосторонняя – критическая область, которая определяется неравенством K > k кр, где k кр > 0 Левосторонняя – критическая область, которая определяется неравенством K < k кр, где k кр < 0 Двусторонняя – критическая область, которая определяется неравенствами K k 2, где k 1 > k 2

4.5 Правосторонняя критическая область Для поиска правосторонней критической области необходимо найти критическую точку k кр так, чтобы вероятность того, что критерий К примет значение, большее k кр, была равна принятому уровню значимости α: Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию. Когда критическая точка найдена, вычисляют по данным выборок наблюдаемое значение критерия, и если К набл > k кр, нулевую гипотезу отвергают, а если К набл < k кр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу Замечание: К набл > k кр может быть следствием малого объема выборки, недостатков эксперимента и пр. В этом случае, отвергнув правильную нулевую гипотезу, совершают ошибку первого рода, вероятность которой равна уровню значимости α

4.6 Левосторонняя и двусторонняя критические области Для поиска левосторонней критической области необходимо найти критическую точку k кр так, чтобы вероятность того, что критерий К примет значение, меньшее k кр, была равна принятому уровню значимости α: Для поиска двусторонней критической области необходимо найти критические точки k 1 и k 2 так, чтобы сумма вероятностей того, что критерий К примет значение, меньшее k 1 или большее k 2, была равна принятому уровню значимости α: Если распределение критерия и критические точки симметричны относительно нуля, тогда критические точки двусторонней критической области находятся по формуле: