5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г. Лекция 11. Двухфакторный дисперсионный анализ Описание метода и пример Анализ взаимодействия Решение в SPSS

2 Иванов О.В., 2005 Пример Компания хочет проверить эффективность своей рекламы. Выбран продукт, и созданы два типа рекламных роликов: серьезный и смешной. Реклама размещена в рабочие и выходные дни. Выбраны 16 потенциальных клиентов и наугад распределены на 4 группы. После того, как каждый покупатель просмотрел ролик, его просят оценить эффективность рекламы по двадцатибалльной шкале. Различные баллы даются за привлекательность, ясность, краткость ролика и т.д.

3 Иванов О.В., 2005 Пример При α = 0,01 проанализируйте данные, используя двусторонний дисперсионный анализ. День Тип роликаРабочийВыходной Смешной 6, 10, 11, 915, 18, 14, 16 Серьезный 8, 13, 12, 1019, 20, 13, 17

4 Иванов О.В., 2005 Дисперсионный анализ (Analysis of Variance) F-критерий, который мы использовали при сравнении дисперсий, может применяться для сравнения трех и более средних. Этот метод называется дисперсионным анализом или в англоязычной аббревиатуре ANOVA (Analysis of Variance). F-критерий можно использовать при сравнении двух средних. Но в этом случае он становится идентичным t-критерию.

5 Иванов О.В., 2005 Однофакторный и двухфакторный анализ Дисперсионный анализ, который рассматривает только одну переменную называется однофакторным дисперсионным анализом (One-Way ANOVA). Дисперсионный анализ может также применяться в случае двух переменных - это двухфакторный дисперсионный анализ (Two-Way ANOVA). Фактор А Фактор B Зависимая переменная Зависимая переменная Фактор Зависимая переменная Зависимая переменная

5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г Двухфакторный дисперсионный анализ Описание метода и пример Описание метода и пример

7 Иванов О.В., 2005 Постановка проблемы При применении двухфакторного дисперсионного анализа исследователь проверяет влияние двух независимых переменных (факторов) на зависимую переменную. Может быть изучен также эффект взаимодействия двух переменных. Фактор А Фактор B Зависимая переменная Зависимая переменная

8 Иванов О.В., 2005 Эффект обработки и эффект взаимодействия Исследуемые группы называют эффектами обработки (treatment groups): Группа 1: Смешной ролик, рабочий день Группа 2: Смешной ролик, выходной день Группа 3: Серьезный ролик, рабочий день Группа 4: Серьезный ролик, выходной день Зрители распределяются по группам случайным образом. Эта схема 2×2, так как каждая переменная состоит из двух уровней, или двух разных вариантов обработки.

9 Иванов О.В., 2005 Эффект обработки и эффект взаимодействия Двухфакторный дисперсионный анализ позволяет исследователю проверить эффекты влияния типа ролика и типа дня одновременно, а не по отдельности. Кроме этого, исследователь может проверить также дополнительную гипотезу об эффекте взаимодействия между двумя переменными. Наличие значимого эффекта будет означать, что тип ролика по-разному влияет на эффективность рекламы, в зависимости от типа дня.

10 Иванов О.В., 2005 Другие схемы Двухфакторный дисперсионный анализ типа 3 х 2 и 3 х 3. В1В1 В2В2 В1В1 В2В2 В3В3 А1А1 А1А1 А2А2 А2А2 А3А3 А3А3

11 Иванов О.В., 2005 Гипотезы Схема двухфакторного дисперсионного анализа имеет несколько нулевых гипотез: одна для каждой независимой переменной и одна для взаимодействия. Н 0 : Тип ролика и день не имеют эффекта взаимодействия на эффективность рекламы. Н 1 : Тип ролика и день имеют эффект взаимодействия на эффективность рекламы. Н 0 : Эффективность рекламы не зависит от типа ролика. Н 1 : Эффективность рекламы зависит от типа ролика. Н 0 : Эффективность рекламы не зависит от типа дня. Н 1 : Эффективность рекламы зависит от типа дня.

12 Иванов О.В., 2005 Таблица результатов Результаты вычислений представляют в виде следующей таблицы: Сумма квадратов df Среднее квадратичное F Фактор ASS A a – 1MS A FAFA Фактор BSS B b – 1MS B FBFB Взаимодействие, AxBSS AxB ( a – 1)(b – 1)MS AxB F AxB ОшибкаSS error a b(n – 1)MS error ИТОГО……...

13 Иванов О.В., 2005 Обозначения SS A – сумма квадратов для фактора А SS B – сумма квадратов для фактора В SS AxB – сумма квадратов для взаимодействия факторов SS error – сумма квадратов для ошибки а – количество уровней фактора А b – количество уровней фактора В n – количество объектов в каждой группе

14 Иванов О.В., 2005 Изменчивость в двухфакторном анализе Общая изменчивость Общая изменчивость Между группами Внутри групп Между столбцами Между столбцами Между строками Между строками Взаимодействие

15 Иванов О.В., 2005 Формулы для вычислений df.N. = a – 1 df.D. = ab(n – 1) df.N. = b – 1 df.D. = ab(n – 1) df.N. = (a – 1)(b – 1) df.D. = ab(n – 1)

16 Иванов О.В., 2005 Условия применения 1.Генеральные совокупности, из которых извлечены выборки, должны быть нормально распределены. 2.Выборки должны быть независимыми. 3.Дисперсии генеральных совокупностей, из которых извлекались выборки, должны быть равными. 4.Группы должны иметь одинаковый объем выборки.

17 Иванов О.В., 2005 Пример Исследователь хочет выяснить, оказывают ли тип потребляемого бензина и тип автомобиля влияние на расход топлива. Для этого будут использованы два типа бензина – обычный и высокооктановый, и для каждой группы будут использованы два типа автомобилей – с двумя ведущими колесами и с четырьмя. Для каждой группы будут использованы по два автомобиля, всего восемь. Тип автомобиля Топливодва колесачетыре колеса Обычное 26,7 25,2 28,6 29,3 Высокооктановое 32,3 32,8 26,1 24,2 Расход топлива в милях на галлон

18 Иванов О.В., 2005 Последовательность действий ШАГ 1. Сформулировать гипотезы. ШАГ 2. Найти критическое значение для каждого значения F- критерия при заданном α, например, α = 0,05. ШАГ 3. Заполнить итоговую таблицу, чтобы получить значение критерия. ШАГ 4. Принять решение. ШАГ 5. Подвести итоги.

19 Иванов О.В., 2005 Шаг 1. Сформулировать гипотезы Гипотезы для взаимодействия: Н 0 : Тип топлива и тип автомобиля не оказывают эффекта взаимодействия на потребление бензина. Н 1 : Тип топлива и тип автомобиля оказывают эффекта взаимодействия на потребление бензина. Гипотезы для типов топлива: Н 0 : Для двух типов топлива нет разницы между средним потреблением бензина. Н 1 : Для двух типов топлива существует разница между средним потреблением бензина. Гипотезы для типов автомобилей: Н 0 : Для автомобилей с двумя и четырьмя ведущими колесами нет разницы в среднем потреблении бензина. Н 1 : Для автомобилей с двумя и четырьмя ведущими колесами существует разница в среднем потреблении бензина.

20 Иванов О.В., 2005 Шаг 2. Критические значения для F-критерия Каждая независимая переменная, или фактор, имеет два уровня (принимает два значения). Фактор А - тип топлива: обычное и высокооктановое, а = 2. Фактор В - тип автомобиля: также имеет два значения, b = 2. Степени свободы для каждого фактора: Фактор А: df.N = a – 1 = 2 – 1 = 1 Фактор В: df.N = b – 1 = 2 – 1 = 1 Взаимодействие (A×B): df.N = (a – 1)(b – 1) = (2 – 1)(2 – 1) = 1 Ошибка внутри группы: df.D = ab(n – 1) = 2×2(2 – 1) = 4 n – число объектов в каждой группе. В данном случае n = 2.

21 Иванов О.В., 2005 Шаг 2. Критические значения для F-критерия Критические значения: F A α = 0,05 df.N = 1 df.D = 4 F A = 7,71 F В α = 0,05 df.N = 1 df.D = 4 F В = 7,71 F АхВ α = 0,05 df.N = 1 df.D = 4 F АхВ =7,71

22 Иванов О.В., 2005 Замечание Если факторы принимают различное число значений, критические значения не всегда будут одинаковыми. Например, если фактор А имеет три значения, а фактор В – четыре, и при этом в каждой группе по два объекта, то степени свободы будут следующие: df.N. = a – 1 = 3 – 1 = 2 для фактора А df.N. = b – 1 = 4 – 1 = 3 для фактора В df.N. = (a – 1)(b – 1) = (3 – 1)(4 – 1) = 6 для фактора A×B df.D. = ab(n – 1) = 3×4(2 – 1) = 12 ошибка внутри группы

23 Иванов О.В., 2005 Шаг 3. Заполняем таблицу Таблица результатов вычислений SSdfMSF Топливо, А 3,920 Автомобиль, В 9,680 Взаимодействие, (А×В) 54,080 Ошибка внутри группы 3,300 Итого 70,980

24 Иванов О.В., 2005 Шаг 3. Заполняем таблицу

25 Иванов О.В., 2005 Шаг 3. Заполняем таблицу

26 Иванов О.В., 2005 Шаг 3. Заполняем таблицу SSdfMSF Топливо, А 3,9201 4,752 Автомобиль, В 9, ,733 Взаимодействие, (А×В) 54, ,552 Ошибка внутри группы 3,30040,825 Итого 70,9807

27 Иванов О.В., 2005 Шаг 3. Можем использовать SPSS

28 Иванов О.В., 2005 Шаг 4-5. Принять решение и подвести итог Поскольку F B = 11,733 и F А×В = 65,522, что превышает критический уровень 7,71, нулевые гипотезы об эффекте взаимодействия и о типе автомобиля отвергаются. Итог. Поскольку нулевая гипотеза об эффекте взаимодействия была отвергнута, можно сделать вывод о том, что сочетание типа топлива и типа автомобиля оказывает существенное влияние на потребление топлива.

29 Иванов О.В., 2005 Итоги Подводя итоги, можно сказать, что двумерный дисперсионный анализ является продолжением одномерного. Двумерный анализ может использоваться для проверки воздействия двух независимых переменных и возможного эффекта взаимодействия на зависимую переменную.

5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г Анализ взаимодействия МетодПример

31 Иванов О.В., 2005 Интерпретация результатов анализа В предыдущем примере влияние типа бензина и типа автомобиля называются основными или главными эффектами. Если нет значимого эффекта взаимодействия, основные эффекты можно интерпретировать независимо друг от друга. Однако, если существует значимый эффект взаимодействия, надо более внимательно интерпретировать основные эффекты. Чтобы интерпретировать результаты двумерного дисперсионного анализа, исследователи предлагают нарисовать график, на который наносятся средние значения каждой группы. Затем проанализировать график и интерпретировать результаты.

32 Иванов О.В., 2005 Вычислим средние по группам Тип автомобиля Топливодва колесачетыре колеса Обычное Высокооктанов ое

33 Иванов О.В., 2005 Беспорядочное взаимодействие На этом графике прямые пересекаются. В случае такого пересечения и при значительном эффекте взаимодействия, это взаимодействие называется беспорядочным. В случае беспорядочного взаимодействия не следует интерпретировать основные эффекты без учета эффекта взаимодействия.

34 Иванов О.В., 2005 Порядковое взаимодействие Другой возможный тип взаимодействия – порядковое взаимодействие. Если значение F-критерия для взаимодействия оказывается значимым и прямые не пересекаются, тогда взаимодействие называется порядковым, и основные эффекты можно интерпретировать отдельно друг от друга.

35 Иванов О.В., 2005 Отсутствие взаимодействия Наконец, когда нет значительного эффекта взаимодействия, прямые на графике будут параллельными или почти параллельными. В подобной ситуации основные эффекты можно интерпретировать независимо друг от друга, поскольку не существует значимого взаимодействия. На рисунке приведен график двух переменных, когда эффект взаимодействия незначителен, прямые параллельны.

36 Иванов О.В., 2005 Пример Какой вывод можно сделать из этого графика?

37 Иванов О.В., 2005 Отсутствие взаимодействия Поскольку прямые почти параллельны, не существует значимого взаимодействия между факторами. Основные эффекты можно интерпретировать независимо друг от друга.

38 Иванов О.В., 2005 Порядковое взаимодействие

39 Иванов О.В., 2005 Беспорядочное взаимодействие

5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г Решение задачи в SPSS Ввод данных АнализОтчет

41 Иванов О.В., 2005 Ввод данных

42 Иванов О.В., 2005 Выбираем переменные Grade является зависимой Trailer и Day независимые

43 Иванов О.В., 2005 Отчет