ЗДРАВСТВУЙТЕ !

Лекция 9. ЭНЕРГИЯ. РАБОТА. МОЩНОСТЬ 6.1. Работа постоянной и Работа постоянной и переменной силы 6.2. Кинетическая энергия Кинетическая энергия

6.1. РАБОТА ПОСТОЯННОЙ И ПЕРЕМЕННОЙ СИЛЫ Понятие энергии является одним из основных понятий физики. С понятием энергии приходится встречаться при рассмотрении ряда технических задач, ибо одной из важнейших проблем техники является получение, передача и использование энергии. В настоящей лекции и последующей за ней будет изложено понятие энергии и показано, как им пользоваться при решении физических задач.

До сих пор мы изучали движение частицы в рамках трех законов динамики Ньютона. При этом для количественного описания движения мы использовали понятие силы. Описание с помощью понятий - энергия и импульс - является альтернативным описанию движения с помощью силы. Важной особенностью этих величин является то, что они сохраняются. Свойства этих величин сохраняться не только позволяют нам глубже заглянуть в устройство мира, но и дают другой способ решения практических задач. Законы сохранения энергии и импульса особенно полезны, когда мы имеем дело с системами многих тел, в которых детальное рассмотрение действующих сил представляло бы трудную задачу.

С понятием энергия тесно связано понятие работа. Поскольку эти величины являются скалярными и не имеют направления, во многих случаях с ними проще иметь дело, чем с векторными величинами. Важная роль энергии обусловлена двумя обстоятельствами. 1) это сохраняющаяся величина, 2) это понятие, которое находит применение не только для изучения механического движения, но и во всех областях физики, а точнее в других науках.

Энергия - универсальная мера различных форм движения и взаимодействия

С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и другие. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других – переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом. Прежде чем рассматривать саму энергию, выясним сначала, что представляет собой работа.

а). Работа, совершаемая постоянной силой В повседневной жизни слово работа употребляется в различном смысле. В физике же понятие работа имеет строго определенный смысл. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергии между взаимодействующими телами в механике вводится понятие работа силы : она описывает то, что совершает сила, когда, действуя на тело, она перемещает его на некоторое расстояние. Рис. 6.1

В частности, работа, совершаемая постоянной силой (как по величине, так и по направлению) при перемещении частицы, равна произведению проекции силы F l на направление перемещения ( ), умноженной на перемещение точки приложения сил: где F – модуль постоянной силы, L – модуль результирующего перемещения, а - угол между направлениями силы и перемещения.

Рассмотрим случай, когда сила и перемещение имеют одно и тоже направление, так что cos = 1 и A=F L. Например, если вы толкаете шкаф с постоянной горизонтальной силой 200Н и перемещаете его на расстояние 3 метра, то вы совершаете над шкафом работу (200Н) (3м) = 600 (Н м). Из этого примера следует, что в системе СИ работа измеряется в ньютонах, умноженных на метры; для удобства единице измерения работы присвоено специальное название джоуль (Дж): Джоуль – это работа, совершаемая силой 1Н на расстоянии 1м в направлении действия силы: 1Дж = 1Н 1м. Размерность работы: [A] = [F] [L] = M L 2 T -2.

Сила может быть приложена к телу и не совершать при этом работы. Например, если вы держите в руках тяжелую сумку и не двигаетесь, то вы не совершаете работы; вы можете устать (и действительно ваши мускулы расходуют энергию), но, поскольку сумка остается в покое (т.е. перемещение равно нулю), работа A=0. Вы также не совершаете работы, когда несете сумку с продуктами так, как показано на рисунке 6.2, т.е. идете по горизонтальному полу. Рис. 6.2 Для перемещения вашего груза с постоянной скоростью не требуется никакой горизонтальной силы. Однако вы действуете на сумку с силой F направленной вверх и равной ее весу.

Это согласуется с нашим определением работы (6.1), в самом деле, A = 0, поскольку = 90 0, а cos90 0 = 0. Таким образом, когда сила направлена перпендикулярно перемещению, она не совершает работы !!! Вычислим работу, совершаемую против силы тяжести при подъеме рюкзака массой 60 кг на холм высотой 5 м. Рис. 6.3 Но эта сила перпендикулярна горизонтальному перемещению сумки и, следовательно, не влияет на горизонтальное движение; поэтому вертикальная сила не производит работы.

Пренебрегая возможным ускорением, будем считать, что человек прилагает к рюкзаку постоянную силу, направленную вертикально вверх и численно равную силе тяжести, действующей на рюкзак: (60 кг) (9,8 м/c 2 ) = 588 Н. Формула (6.1) может быть переписана в виде, а из рис. 6.3 следует, что L cos = h. Следовательно, мы имеем A = F h = = 2940 Дж. !!!Заметим, что работа зависит только от изменения высоты и не зависит от крутизны холма!!! При вертикальном подъеме рюкзака на такую же высоту h совершается такая же работа. Если угол > /2 (см. рис. 6.1), то сила действует против направления перемещения, cos < 0 и работа отрицательна.

Как и в случае с силой, когда мы имеем дело с работой, необходимо уточнять, совершается ли работа данным телом, или она совершается над телом (). Существенно также выяснить, производится ли работа какой-либо одной конкретной силой или результирующей сил, действующих на тело.

Полная (результирующая) работа, совершаемая над телом, является алгебраической суммой работ каждой из сил, действующих на тело; разумеется, что это полная работа производится равнодействующей всех сил, действующих на тело. Таким образом, работа аддитивна: A=A 1 +A 2 +…+A N. Задача 6.1. Пусть вам надо поднять груз массой 15 кг на высоту 1 м (груз поднимаете равномерно, т.е. с постоянной скоростью). Найдите работу, 1) совершаемую человеком над грузом (А ч = ?), и 2) полную работу, совершаемую над грузом (А п = ?).

Как было показано в лекции 5 в механике большое значение имеет принцип независимости сил. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие. Так, при движении материальной точки по криволинейной траектории силу, которая сообщает точке ускорение, можно разложить на две составляющие – тангенциальную и нормальную, совпадающие по направлению с соответствующими ускорениями точки. Мы видим, что в пределе вектор направлен по касательной, а вектор - соответственно по нормали к траектории. Из приведенного выше определения работы следует, что ее совершает только касательная составляющая силы, а работа нормальной составляющей силы равна нулю.

ВЫВОДЫ 1) работа обладает свойством аддитивности ; 2) если /2 > > 0, то cos > 0 – работа положительна ; 3) если = /2, то работа равна нулю ; 4) если > > /2, то работа совершается против действия силы и она отрицательна ; 5) центростремительная сила не совершает работы.

б). Работа, совершаемая переменной силой В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (6.1) пользоваться нельзя. Например, при старте ракеты с Земли совершается работа против силы тяжести, которая обратно пропорционально квадрату расстояния ракеты до центра Земли. Сила, обусловленная деформацией пружины, возрастает с увеличением этой деформации. Как можно рассчитать работу, совершенную переменной силой?

На рис. 6.5 показана траектория частицы, движущейся в плоскости XY из точки а в точку b. Для вычисления работы на конечном участке пути, разобьем весь путь на малые перемещения и вычислим L 1 2 L 3 L 5 L 6 L 2 Рис a b L 4 элементарную работу на каждом из них. (Элементарная работа силы на бесконечно малом перемещении есть произведение модуля силы F на модуль перемещения dL и на косинус угла между ними: (6.2) Иными словами, элементарная работа равна произведению тангенциальной составляющей силы на модуль перемещения.

Сила действует на частицу в любой точки траектории: на рис. 6.5 показана сила, действующая в двух точках и обозначаемая в этих точках соответственно, как и. В пределах каждого интервала L сила меняется мало и ее можно считать постоянной. Тогда на первом интервале сила совершает элементарную работу A, приближенно (см. 6.1) равную AF 1 cos 1 L 1. Работа на втором интервале приближенно равна F 2 cos 2 L 2 и т.д. Полная работа при перемещении частицы на полное расстояние L= L L 6 равна сумме всех таких слагаемых: (6.3) Строго говоря, здесь возникает некоторая ошибка, зависящая от способа разбиения пути на малые участки. Точный результат получится лишь в пределе, когда путь будет разбит на бесконечно большое число бесконечно малых перемещений.

Представим сумму (6.3) графически (рис. 6.6). Для этого построим зависимость проекции F =F cos от L. Отрезок L разделим на шесть равных частей вертикальными штриховыми линиями. Значения F на каждом отрезке L указываются горизонтальными штриховыми линиями Каждый из заштрихованных прямоугольников имеет площадь (F i cos i )( L), равную работе, совершенной при перемещении частицы на L i. Таким образом, определяемая выражением (6.3) работа равна сумме площадей всех прямоугольников A L 1 L 2 L 3 L 4 L 5 L 6 B Рис. 6.6.

Если траекторию разбить на большее число отрезков, так что длина L i станет меньше, то по формуле (6.3) мы определим работу более точно (при этом предположение о том, что сила F постоянна на каждом отрезке L I оказывается еще более справедливым). Если устремить длину каждого отрезка L i к нулю (т.е. получить бесконечное число отрезков разбиения), то мы найдем точное значение совершенной работы: (6.4) Итак, работа, совершаемая переменной силой при перемещении частицы от одной точки до другой, численно равна площади под кривой зависимости F cos от L между этими двумя точками a и b.

Выражение (6.4) наиболее общее определение работы. Интеграл, входящий в формулу (6.4), называется криволинейным интегралом, т.к. он представляет собой интеграл от функции F cos вдоль линии, которая представляет собой траекторию тела (формула (6.1) представляет собой частный случай (6.4) – для работы постоянной силы). В общем случае этот интеграл зависит от формы и длины траектории.

в). Мощность Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности. Средней мощностью за промежуток времени t называется отношение работы, совершенной за это время, к промежутку времени: = A/ t (6.5) Мгновенной мощностью называется предел, к которому стремиться средняя мощность за бесконечно малый промежуток времени: (6.6)

Мгновенную мощность можно выразить через силу и мгновенную скорость. Для этого подставить в (6.6) выражение (6.2): (6.7.) Где - вектор мгновенной скорости, V - модуль вектора мгновенной скорости. Итак, мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы. Мощность - величина скалярная. Единицей мощности в СИ служит ватт (Вт): 1Вт - мощность, при которой за время 1с совершается работа 1Дж: 1Вт=1Дж/с: размерность мощности [N]=[A/t]=M L 2 T -3. Содержание