Вычисление наибольших и наименьших значений функций без применения производной. 11 класс.

1 вариант 2 вариант

Использование неравенств: a+1/a 2 при всех а>0 a+1/a =2 при а=1

Задача: Найти наименьшее значение функции: F(x) =(X 4 -4x 3 +8x 2 -8x+5)/(x 2 -2x+2)

Решение: F(x) =(X 2 -2x+2) 2 + 1)/(x 2 -2x+2) F(x) =X 2 -2x+2 + 1/(x 2 -2x+2) 2 (>0) (>0) F(x) =2 – наименьшее, если: x 2 -2x+2=1 x 2 -2x+1=0 x=1 Значит: F(1) = 2 Ответ: 2.

Векторный способ решения

Найти наименьшее значение функции Y=(̅x̅-̅3̅)̅²̅+̅1̅`+(̅X̅-̅2̅)̅ 2 +̅4̅

Решение: Введем векторы ā{3-X;1} и b̅{X-2;2} Тогда |ā|=(̅x̅-̅3̅)̅²̅+̅1̅`; |b̅|=(̅X̅-̅2̅)̅ 2 +̅4̅. (ā+ b̅)={1;3}. |ā+b̅|=1̅̅²̅ ̅+̅3̅²̅=1̅0̅. Воспользуемся неравенством:|ā|+|b̅| |ā+b̅|

Имеем: Y=|ā|+|b̅| |ā+b̅|=1̅0̅. То есть наименьшее значение функции: 1̅0̅.

Геометрический способ решения Найти наименьшее значение функции: Решение: 2 3 Данная функция задаёт длину ломаной ACB (см. рисунок), которая будет наименьшей, если точки A, C, B лежат на одной прямой. Тогда AMC подобен BKC, поэтому Ответ: 7.

Различные способы нахождения наибольшего и наименьшего значений функции С помощью производной Оценка Замена переменной Графический образ Введение вспомогательного угла Использование свойств монотонных функций Введение параметра С помощью неравенств Векторный способ Геометрический способ