Работу выполнили ученицы 8в класса Санькова Юля и Миненко Юлия Преподаватель: Н.Н. Кудоспаева

Понятие вектора Коллинеарные векторы Равенство вектора Откладывание вектора от данной точки Сумма двух векторов. Правило треугольника Законы сложения. Правило параллелограмма Сумма нескольких векторов Вычитание векторов Умножение вектора на число Четырёхугольники

Понятие вектора. Пусть на тело действует сила в 8Н. Стрелка указывает направление силы, а длина отрезка соответствует числовому значению силы. 8Н

Рассмотрим произвольный отрезок. На нем можно указать два направления. Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовем НАЧАЛОМ, а другой – КОНЦОМ и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу. Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.

На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой Вектор АВ, А – начало вектора, В – конец. CD EF LK АВ АВ C D EF K L

Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: Любая точка плоскости также является вектором, который называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с его концом: ММ = 0. a b c М

Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ: АВ = а = АВ = 6 с = 18 Длина нулевого вектора считается равной нулю: ММ = 0. a М В А с

Коллинеарные векторы. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. аb c d m n s L

Равенство векторов. Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарные и их длины равны. а = b, если 1)а b 2)а = b аc b d m n s f

Откладывание вектора от данной точки. Если точка А – начало вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки А. Утверждение: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой А а М а

Сумма двух векторов. Рассмотрим пример: Коля из дома(D) зашел к Ване(B), а потом пошли в школу(H). В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами DB и BH, Коля переместился из точки D в Н, т.е. на вектор DН: DН=DB+BН. Вектор DН называется суммой векторов DB и BН. D B Н

Правило треугольника Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от точки В отложим вектор ВС = b. АС = а + b a b A a b B C

Законы сложения векторов. 1) а + b=b + a (переместительный закон) Правило параллелограмма Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем вектор АD = b. На этих векторах построим параллелограмм АВСD. АС = АВ + BС = а + b АС = АD + DС = b + a 2) (а + b) + c=a + (b + c) (сочетательный закон) a a b b A DC B a b

Сумма нескольких векторов. Правило многоугольника s=a+ b+ c+ d+ e+ f k+ n+ m+ r+ p=0 a b c d e f s k m n r p O

Противоположные векторы. Пусть а – произвольный ненулевой вектор. Определение. Вектор b называется противоположным вектору а, если а и b имеют равные длины и противоположно направлены. a = АВ, b = BA Вектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c. Очевидно, с +(-с)=0 или АВ+ВА=0 А B a b c -c

Вычитание векторов. Определение. Разностью двух векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. Теорема. Для любых векторов а и b справедливо равенство а - b = а + (-b). Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор а – b. а а b -b a - b

Определение. Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого равна вектору k а, причем векторы а и b сонаправленны при k0 и противоположно направлены при k

Умножение вектора на число. Для любых чисел k, n и любых векторов а, b справедливы равенства: 1)(kn) а = k (na) (сочетательный закон) 2)(k+n) а = kа + na (первый распределительный закон) 3)K ( а+ b ) = kа + kb (второй распределительный закон) Свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например, p = 2( a – b) + ( c + a ) – 3( b – c + a ) = = 2a – 2b + c + a – 3b + 3c – 3a = - 5b + 4c

Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма. Теорема: У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма. Доказательство: Пусть ABCD – данный параллелограмм. Проведём диагонали параллелограмма. Пусть О – точка их пересечения. BC DA O

Равенство противолежащих сторон АВ и CD следует из равенства треугольников AOB и COD. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а ОА=ОС и OB=OD по свойству диагоналей параллелограмма. Точно так же из равенства треугольников AOD и COB следует равенство другой пары противолежащих сторон – AD и BC. Равенство противолежащих углов АВС и CDA следует из равенства треугольников АВС и CDA (по трём сторонам). У них АВ=CD и BC=DA по доказанному, а сторона АС общая. Точно так же равенство противолежащих углов BCD и DAB следует из равенства треугольников BCD и DAB. Теорема доказана полностью.

Прямоугольник. Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. A B C D

Теорема: Диагонали прямоугольника равны. Доказательство: Пусть ABCD – данный прямоугольник. Утверждение теоремы следует из равенства прямоугольных треугольников ВАD и СDА. У них углы ВАD и СDА прямые, катет АD общий, а катет AB и СD равны как противолежащие стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует, что их гипотенузы равны. А гипотенузы есть диагонали прямоугольника. Теорема доказана.

Ромб. Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Теорема: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Доказательство: Пусть ABCD – данный ромб, О – точка пересечения его диагоналей. По свойству параллелограмма АО = ОС. Значит, в треугольнике АВС отрезок ВО является медианной. Т.к. ABCD – ромб, то АВ = ВС и треугольник АВС равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к его основанию, является биссектрисой и высотой. А это значит, что диагональ ВD является биссектрисой угла В и перпендикулярна диагонали АС. Теорема доказана.

Квадрат. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Поэтому квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба: У квадрата все угля прямые. Диагонали квадрата равны. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Ресурсы. 1.Интернет – ресурсы. 2.Геометрия учебник для 7 – 9 классов. А.В. Погорелов «Просвещение» 2008.