Понятие объема. Объем призмы. Геометрия, 11 класс Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Любое геометрическое тело в пространстве характеризуется величиной, называемой ОБЪЕМОМ. Так что же такое – объем пространственной фигуры? Под объемом пространственной фигуры понимается положительная величина, обладающая следующими свойствами: 1)равные фигуры имеют равные объемы; 2)объем фигуры равен сумме объемов ее частей; 3)объем куба с ребром единичной длины равен одной кубической единице. V 1 =V 2 V=V 1 +V 2 +V 3 1 ед.отр. V=1 куб.ед.

a b c=H a b c Самым естественным образом определяется объем прямоугольного параллелепипеда, как геометрического тела составленного из определенного количества единичных кубов. А значит, его объем определяется как сумма объемов этих единичных кубов.

a b c=H Эту же формулу объема прямоугольного параллелепипеда можно получить пользуясь понятием бесконечной интегральной суммы. Объем прямоугольного параллелепипеда можно понимать как бесконечную сумму площадей основания, взятых вдоль его высоты. x 0 x x [ 0; H ]

A B A1A1 C1C1 E1E1 D E M M1M1 Рассмотрим произвольную треугольную прямую призму ABCA 1 B 1 C 1. 1) Разобьем призму на две прямые треугольные призмы ABMA 1 B 1 M 1 и BCMB 1 C 1 M 1 плоскостью, проходящей через высоту основания B 1 M 1 и боковое ребро BB 1. 2) Достроим данную призму до прямоугольного параллелепипеда ADECA 1 D 1 C 1 E 1. C 3) Получили ещё две прямые треугольные призмы ADBA 1 D 1 B 1 и BECB 1 E 1 C 1. D1D1 B1B1

A B C A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 E1E1 DE M M1M1 Нетрудно заметить, что объем треугольной призмы в два раза меньше объема прямоугольного параллелепипеда, т.е. H B1B1 B M1M1 M Объясните самостоятельно: F1F1 F

Пусть дана наклонная треугольная призма. Построим сечение, перпендикулярное боковому ребру ( BKC). A B C K A1A1 B1B1 C1C1 β F Примем KAF= за угол наклона бокового ребра к основанию призмы, а KFA= β – за угол между плоскостями основания и сечения. Очевидно, что + β =90 0. Сечение (KBC) разбивает призму на две пространственные фигуры – треугольную пирамиду KABC и многогранник KBCA 1 B 1 C 1. По свойству объема фигуры объем призмы равен сумме объемов этих частей. Вспомним, что : H m β

Перемещая соответствующим образом одну из частей можно получить прямую треугольную призму, равную по объему данной наклонной призме. B C K A1A1 B1B1 C1C1 A K1K1 m Тогда:, где S сеч. – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру и m – длина бокового ребра.

С учетом вспомненных соотношений, получим: B C K B1B1 C1C1 K1K1 m

A B C B1B1 H A1A1 C1C1 Если применить метод бесконечных интегральных сумм, то получится: x x x [ 0; H ] 0

H Рассмотрим произвольную n -угольную призму A 1 A 2 …A n B 1 B 2 …B n. Разобьем её на ( n –2) треугольные призмы, полученные при проведении диагональных сечений из вершины A 1. По свойству объема: A1A1 A2A2 AnAn B1B1 B2B2 BnBn

Итак, для любой n -угольной призмы: ИЛИ,где S осн. – площадь основания призмы, S сеч. – площадь перпендикулярного сечения, H – высота призмы, m – длина бокового ребра призмы.