Окружность Выполнили: Ученики 8 Б класса школы 89 Вахрушева Ксения, Габдуллин Марат, Курдес Полина, Обухова Саша, Хуснутдинова Инзиля, Щенин Стас.

Содержание §1. Касательная к окружностиКасательная к окружности §2. Центральные и вписанные углыЦентральные и вписанные углы §3. Четыре замечательные точки треугольникаЧетыре замечательные точки треугольника §4. Вписанная и описанная окружностиВписанная и описанная окружности Выход

Касательная к окружности Взаимное расположение прямой и окружности Теоремы о касательной к окружности Содержание

Взаимное расположение прямой и окружности dr

Определение: прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательная к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности А о касательная Точка касания Касательная к окружности

Теорема: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания А о r Доказательство: 1) Пусть p r p 2) Тогда r – наклонная к P d < r d r 3) Прямая P имеет 2 общие точки с окружностью 4) Это противоречит условию: прямая P - касательная 5) P r Теорема доказана

Свойство отрезков касательных О В А С 1. AB = AC AB и AC – отрезки касательных 2. AO – прямая, проходящая через т. А и центр окружности BAO = CAO

Теорема: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. О r А Доказательство: 1) ОА m m ОА = r2) ОА - касательная Теорема доказана

Центральные и вписанные углы Градусная мера дуги окружности Теорема о вписанном угле Содержание

Градусная мера дуги окружности О А В M Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности. d А В M L дуга АМВ=180 Если дуга АМВ < полуокружности или дуга АМВ = полуокружности, то дуга АМВ = углу АОВ. Если дуга АLB > полуокружности, то дуга АLB = 360 – угол АМВ. О Дуга АМВ + дуга ALB = 360

Теорема о вписанном угле О А В Определение: угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. 1)Доказательство: 1. 1.ВО совпадает со стороной ВС 2.=> 2.Дуга АС угол АОС = дуга АС 3. Угол 1 = угол 2 => угол АОС = угол 1 + угол 2 = 2 * угол * угол1 = дуга АС => угол АОС = угол1 = ½ дуги АС О А В с 1 2 Теорема доказана

В с D А О 2)Доказательство: 1. 1.ВD делит угол АВС на углы: АВD и СBD 2. Угол ABD = ½ дуги AD и угол АВС = ½ дуги DC => УголABD+ угол DBC=½(дуга AD + дуга DC) Или угол АВС = ½ дуги AC.

В О D А с 3)Доказательство: 1. 1.BD не делит угол ABC на углы и не совпадает со сторонами этого угла 2. Угол CBD = ½ дуги CD 3. Угол ABD = ½ дуги AD 4. Дуга AC = дуга АС + дуга CD 5. Угол АВС = угол ABD – угол СBD => Угол АВС = ½ (дуга АD – дуга CD) Или угол АВС = ½ АС. Теорема доказана

Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Доказательство: 1. 1.Угол 1 = угол 2 – вписанные и опираются на дугу BD 2. 2.Угол 3 = угол 4 – вертикальные ADE СBE => АЕ:СЕ = DE:BE или АЕ*ВЕ = СЕ*DE Е С В D A Теорема доказана 4

Четыре замечательные точки треугольника Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезкуСвойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку Теорема о пересечении высот треугольникаТеорема о пересечении высот треугольника Содержание

Свойства биссектрисы Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. A С С1С1 В1В1 В О к L 1. АА 1 и ВВ 1 биссектрисы 2.ОК и OL перпендикуляры 3. ОК = ОВ 1 ; ОК = ОL; OL = OB 1, т.к. т.О равноудалена от сторон треугольника (по теореме) A1A1

Теорема: Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалена от сторон угла, лежит на его биссектрисе. 1)Доказательство: 1. 1.АМ – общая гипотенуза 2. Угол 1 = угол 2 (АМ – биссектриса) 1 2 A В С М L К АМК = АМL => МК = ML 2)Доказательство: 1. АМ - общая гипотенуза 2. МК = ML (по условию) АКМ = АLM угол 1 = угол 2 => Значит АМ – биссектриса угла ВАС Теорема доказана

Теорема: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. В АО М m 1)Доказательство: 1. 1.ОА = ОВ 2. 2.ОМ – общий катет ОМА = ОВМ => АМ = ВМ 2)Доказательство: 1. 1.AМ = BМ 2. 2.МO – медиана АМВ и высота => МO AB, значит МО и m совпадают, т. М лежит на прямой m. Теорема доказана

Свойство: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. А В С p nm 1. 1.ОВ = ОА и ОВ = ОС, значит ОА = ОС, т.О равноудалена от концов АС, => АС лежит на p, следовательно m, n, p пересекаются в т.О О

Теорема о пересечении высот треугольника Теорема: Высоты треугольника пересекаются в одной точке. А В С В1В1 А1А1 С1С1 А2А2 С2С2 В2В2

Доказательство: 1. АВ = А 2 С и АВ = СВ 2 как противоположные стороны параллелограммов АВА 2 С и АВСВ 2, А 2 С = СВ 2 2. С 2 А = АВ 2 и С 2 В = ВА 2 3. СС 1 А 2 В 2, АА 1 В 2 С 2 и ВВ 1 А 2 С 2 следовательно АА 1, ВВ 1 и СС 1 являются серединными перпендикулярами и они пересекаются в одной точке. Теорема доказана

Вписанная и описанная окружности Вписанная окружность Описанная окружность Содержание

Вписанная окружность Определение: Если все стороны многоугольника касаются окружности, то эта окружность вписанная, а этот многоугольник – описанный около окружности.

Теорема: В любой треугольник можно вписать окружность. О А В С К LМ Доказательство: 1.ОК = ОL = OM 2.Окружность проходит через точки К, L, М 3. Стороны треугольника касаются окружности в этих точках, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL, ОМ Значит окружность является вписанной. Теорема доказана

Описанная окружность Определение: Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то эта окружность описанная, а многоугольник вписанный в окружность.

Теорема: Около любого треугольника можно описать окружность. А В С Доказательство: 1. 1.ОА = ОВ = ОС 2. Окружность проходит через все вершины треугольника АВС, Значит окружность является описанной. Теорема доказана О