1 2. Матрицы. 2.1 Матрицы и их виды. Действия над матрицами. Джеймс Джозеф Сильвестр

2 Определение: Матрица – прямоугольная таблица, образованная из элементов некоторого множества и состоящая из m строк и n столбцов. Обычно матрицу обозначают двойными вертикальными черточками или круглыми скобками. Если m=n матрица называется квадратной.

3 Среди квадратных матриц выделяют класс диагональных матриц, т.е. матрицы, которые имеют элементы не равные нулю только на главной диагонали: Если то матрица называется единичной

4 Матрица, у которой все элементы нулевые, получила название нулевой: Понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадратных матриц. Матрицы A и B считаются равными, если они одинакового размера, т.е. число строк и столбцов матрицы A соответственно равны числу строк и столбцов матрицы B и элементы стоящие на одинаковых местах, равны между собой.

5 Основные операции, которые производятся над матрицами: 1. Сложение матриц. 2. Вычитание матриц. 3. Умножение матрицы на число. 4. Умножение матриц

6 1. Суммой двух матриц А и В, одинаковых размерностей, называется матрица той же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В:

7 Сумма матриц обладает следующими свойствами: 1.А+В=В+А, сложение матриц коммутативно, 2.А+(В+С)=(А+В)+С, свойство ассоциативности, 3.А+0=А, где 0 – нулевая матрица той же размерности. 2. Аналогично определяется разность двух матриц:

8 3. Произведением матрицы А на число λ, называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А, путём умножения их на число λ: Операция произведения матрицы на число удовлетворяет следующим свойствам: Где A,B – произвольные матрицы, -произвольные числа, 0 – нулевая матрица.

9 4. Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы В. Пусть даны матрицы В результате умножения получится новая матрица C, у которой число строк будет равно числу строк матрицы А, а число столбцов равно числу столбцов матрицы В.

10 В таком случае произведением матрицы A на матрицу B является матрица С элементы которой определяются по следующему правилу где i=1,…,m; j=1,…,k.

11 Т.е. для получения элемента надо элементы i-строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j – го столбца матрицы B и полученные произведения сложить. Получение элемента схематично изображается так:

12 Пример: Перемножить матрицы и Решение:

13 Свойства умножений матриц: произведение матриц не коммутативно; Если AB=BA, то матрицы А и В называются перестановочными;

14 свойство ассоциативности свойство дистрибутивности Непосредственной проверкой можно убедиться, что

Обратная матрица. Пусть дана квадратная матрица: иопределитель матрицы. Матрица определитель которой равен нулю, называется вырожденной (или особенной), а матрица определитель которой отличен от нуля - невырожденной (или неособенной).

16 Если для данной матрицы А существует матрица Х, такая, что где Е – единичная матрица, то матрица Х называется обратной матрицей по отношению к матрице А, а сама матрица А - обратимой. Обратная для А матрица обозначается Теорема. Для каждой обратимой матрицы существует только одна обратная матрица. Доказательство.

17 Пусть для матрицы А существует обратная матрица Х, тогда должно выполняться условие (2.6) Пусть для матрицы А существует ещё одна обратная матрица тогда согласно (2.6) Умножим слева последнее выражение на матрицу Х: Согласно свойству произведение матриц левую часть выражения можно записать Т.е. получили Что и требовалось доказать.

18 Запишем выражение для обратной матрицы Пусть дана квадратная обратимая матрица А: Найдём алгебраические дополнения для каждого элемента и составим матрицу В: Заметим, что в i строке матрицы В расположены алгебраические дополнения элементов j столбца определителя. Матрицу В называют присоединенной для матрицы А.

19 Обратную матрицу можно найти по формуле

20 Пример: Найти матрицу обратную данной Решение: Проверим, обратима матрица А или нет, т.е. является ли она вырожденной Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А

21

22 Запишем обратную матрицу Для проверки правильности решения достаточно проверить следующее равенство:

Ранг матрицы. Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу: Возьмем в этой матрицы k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этой строки и столбца образуют квадратную матрицу. Определитель данной матрицы называется минором k-ого порядка Минор порядка k+1, который содержит в себе минор называется окаймляющим минором.

24 Если любой минор а все возможные миноры равны нулю, то говорят, что ранг матрицы равен k (rangA=k). Отличный от нуля минор называют базисным минором. не равен нулю,

25 Пример: Вычислить ранг матрицы: Решение: Выберем минор второго порядка, находящийся в верхнем левом углу, Минор второго порядка не равен нулю, следовательно ранг не менее двух. Составляем миноры третьего порядка, окаймляющие отличный от нуля минор второго порядка. Для этого добавим к третью строку и третий столбец.

26

27 Другим простым способом вычисления ранга матрицы является метод Гаусса, основанный на элементарных преобразованиях, выполняемых над матрицей. Такими преобразованиями являются: 1.вычёркивание строки состоящей из нулей, 2.прибавление к элементам одной из строк соответствующих элементов другой строки, умноженных на любое число, 3.перестановку двух строк (двух параллельных рядов), 4.все строки заменить столбцами Все миноры третьего порядка, окаймляющие минор второго порядка, равны нулю. А это значит, что rang A=2.

28 Метод Гаусса вычисления ранга матрицы заключается в том, что при помощи элементарных преобразований матрицу можно привести к виду: В этой матрице все диагональные элементы и т.д. отличны от нуля, а элементы других строк расположенные ниже, равны нулю. Т.к. ранг не меняется при элементарных преобразованиях, то ранг исходной матрицы будет равен рангу данной матрицы и равен числу не нулевых строк.

29 Пример: Найти ранг матрицы: Решение: Добьемся, чтобы все элементы первого столбца, кроме первого были нулями. Первую строку оставим без изменения, затем первую строку умножим на -2 и прибавим ко второй, первую строку умножим на -1 и прибавим к третьей, и наконец, первую строку умножим на 2 и прибавим к четвертой строке.

30 Умножим третью строку на -1 и сложим с четвертой Вычеркивая нулевую строку, получим rang A=3. Применим теперь элементарные преобразования таким образом, чтобы в матрице все элементы второго столбца кроме первых двух, были нулями. Умножим вторую строку на 2 и прибавим к четвертой