«Геометрические решения экстремальных геометрических задач » Выполнила: ученица 11 «М» класса гимназии 22 Соловей Екатерина Руководитель: Учитель математики Захарьян А.А.

Задача 1 На отрезках АВ и АС как на диаметрах построены полуокружности. В общую часть двух образовавшихся полукругов вписана окружность максимального радиуса. Найдите радиус этой окружности, если АВ=4, АС = 2, ВАС = 120°.

Решение 1) O 1 и О 2 середины соответственно отрезков АВ и АС 2) Из 3) По неравенству в получаем: 1 - r + 2 Отсюда Чтобы r был максимальным, центр окружности О должен принадлежать отрезку O 1 О 2 Значит r= Ответ:

Задача 2 Найдите периметр треугольника наибольшей площади, образованного большим основанием и продолжением боковых сторон трапеции, если известно, что длина верхнего основания трапеции в два раза меньше длины ее нижнего основания, а диагонали равны 5 и 6. A BC D E

Решение Т.к. BC=1/2AD и BC|| AD, то ВС средняя линия треугольника AED. Тогда A BC D E Следовательно, площадь треугольника AED достигает максимального значения при максимальной площади трапеции ABCD.

Очевидно,, т. е. площадь данной трапеции максимальна, если ее диагонали перпендикулярны. Итак, искомый периметр это периметр треугольника с перпендикулярными медианами: Ответ:

Задача 3 В параболу вписан четырехугольник ABCD наибольшей площади с диагоналями АС и BD. Найдите координаты вершины С, если А(-3; -4), В(-2; -1), D(1;-4). x y 0 A B D C

Так как точки А, В, D лежат на параболе, то их координаты удовлетворяют ее уравнению: откуда a= -1, b= -2, c= -1. Итак, уравнение заданной параболы найдено:.

В условии указано, что АС диагональ четырехугольника ABCD, значит, точка С лежит на дуге BD параболы. Найду координаты точки С, при которых площадь треугольника DBC максимальна, т.е.точки, максимально удаленной от прямой BD. Пусть L касательная к параболе, L || BD. Точкой, максимально удаленной от прямой BD, будет точка касания. Прямая BD имеет вид y=kx+d => k = - 1 => y(x 0 )=-1 т.е. -2(x 0 +1)=-1, откуда x 0 = - Тогда y=-(- +1) 2 =- x y 0 A B D C L Ответ:

Задача 4 В основании прямой призмы лежит ромб ABCD с углом. Длины всех ребер призмы равны 1. Точка F середина ребра DC, а точка М лежит на прямой A 1 F. Определите наименьшее значение суммы площадей треугольников МВВ 1 и МСС 1. А BC D C1C1 B1B1 А1А1 D1D1 F M

Решение МК и ML высоты соответственно треугольников МВВ 1 и МСС 1 М 1 проекция точки М на плоскость ABC. М 1 В=МК, M 1 C=ML => КВМ 1 М и М 1 МLC – прямоугольники, значит А BC D C1C1 B1B1 А1А1 D1D1 F KL M M1M1

Сумма M 1 B + M 1 C принимает наименьшее значение, если M 1 точка пересечения прямых AF и BE, где Е точка, симметричная точке С относительно прямой AF. Найду длину ВЕ A B C D E H M1M1 F N DN- высота треугольника ADF. СЕ=2DN и. Но Из по Т. косинусов Ответ:

Задача 5 Отрезок АВ – диаметр сферы. Точки С и D лежат на сфере так, что объем пирамиды ABCD наибольший. Найдите этот объем, если радиус сферы равен 1 см. A C B D H

Решение Так как A и B принадлежат диаметру сферу, то опирается на диаметр, а значит =90 0 => - прямоугольный. Наибольшую площадь из всех прямоугольных треугольников имеет равнобедренный прямоугольный треугольник; т.к. АВ- const, то высота СН должна быть наибольшей, а значит СН=R и - прямоугольный равнобедренный. Аналогично рассуждаем для, т.е. получаем, что DH=R. Ответ: A C B D H Чтобы объем пирамиды был наибольший, должна быть наибольшей высота этой пирамиды и площадь основания, так как