Объемы пространственных фигур фигур

Вычисление объемов геометрических тел с помощью определенного интеграла.

1. Понятие объема 2. Объем прямой призмы 3. Объем цилиндра 4. Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла 5. Объем наклонной призмы 6. Объем пирамиды 7.Объем конуса 8. Объем шара 9. Объем шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора Содержание урока :

ОБЪЁМ. ЦЕЛИ УРОКА: Усвоить понятие объёма пространственной фигуры; Запомнить основные свойства объёма; Узнать формулы объёмов пространственных фигур. Раскрытие связи между двумя науками: алгеброй и геометрией. Вывод основной формулы для нахождения объёмов геометрических тел.

Геометрия Стереометрия Единицы измерения площади плоской фигуры: см²; дм²; м²… 1 см Единицы измерения объемов: см³; дм³; м³… Что изучают

Равные тела имеют равные объемы Если тела А, В, С имеют равные размеры, то объемы этих тел – одинаковы.

Понятие объема в пространстве вводится аналогично понятию площади для фигур на плоскости. Определение 1. Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами: равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется; если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей; за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины; Определение 2. Тела с равными объемами называются равновеликими. Из свойства 2 следует, что если тело с объемом V 1 содержится внутри тела с объемом V 2, то V 1 < V 2. Понятие объема.

Чтобы найти объём многогранника, нужно разбить его на кубы с ребром, равным единице измерения. V=20ед. 3

Если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей. V V =V 1 +V 2 V 1 V 2 V

с а b V=abc Напомним формулу объёма прямоугольного параллелепипеда.

1/10 n Объем прямоугольного параллелепипеда V=a*b*c a, b, c-конечные десятичные дроби Каждое ребро разбивается параллельными плоскостями, проведенными через точки деления ребер на равные части длиной 1/10 n. объем каждого полученного кубика будет равен 1/10 3n, т.к. длина ребер этого кубика 1/10 n, то а*10 n; в*10 n; с*10 n Т.к. n +, то Vn V=авс V=a*b*c*10³n* 1/10 3n=a*b*c

А А1А1 В В1В1 С С1С1 Д Д1Д1 Следствие 1: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. V = Soc*h, т.к. Sос.=a*b;h=c Следствие 2: Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник равен произведению площади основания на высоту. Т.к. ABD-1/2 АВСД S ABD =½S ABCD V ABC =½S ABC Д *h = =S ABD *h Построим сечение прямоугольного параллелепипеда, проходящее через диагонали верхнего и нижнего оснований

С1С1 Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту 1.Призма -треугольная: С 1 Д 1, СД- высоты оснований Vnp=V ABD +V BDC (AДC;BCD- прямоуг-е) V ABC =S AСD *h+S BCD *h=S ABC *h = =½AВ*СD*h A E D C B h B1B1 C1C1 D1D1 E1E1 S1S1 S2S2 S3S3 2. Призма с произвольным основанием: Провели непересекающиеся диагонали оснований :АС, АД, А 1 С 1, А 1 Д 1 ; получили три треугольных призмы. Vnp=V 1 +V 2 +V 3 =S 1 *h+S 2 *h+S 3 *h =h(S 1 +S 2 +S 3 )=h*Soc А1А1 A D B A 1 D 1 B 1 C1C1 С

Ещё раз V=abc V=abc :2 V=abc:2 V=Sc V=Sh

Объем цилиндра Призмы, которые вписаны и описаны около цилиндра, и если их основание вписаны и описаны около цилиндра, то высоты этих призм равны высоте самого цилиндра. h r h r Вписанная призма Описанная призма

Теорема: Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту. V V=S*h V=h*S(r)=π R ²*h S(r)=π R ² h

Доказательство: Впишем в цилиндр правильную n-угольную призму Fn,а в Fn впишем цилиндр Pn. Fn=Sn*h где Sn- площадь основания призмы Цилиндр Р содержит призму Fn, которая в свою очередь, содержит цилиндр Pn. Тогда Vn< Sn*hRn=r cos 180/n*r при n + Поэтому: limVn=V Из неравенства (1) следует, что LimSn*h=V Но LimSn=Пr² таким образом V=Пr²h Пr ²=S => V=Sh Цилиндр P Цилиндр Pn Призма Fn

Цели : Научиться применять интегрирование функций в качестве одного из способов решения задач на нахождение объёмов геометрических тел. Научиться применять интегрирование функций в качестве одного из способов решения задач на нахождение объёмов геометрических тел. Развитие логического мышления, пространственного воображения, умений действовать по алгоритму, составлять алгоритмы действий. Развитие логического мышления, пространственного воображения, умений действовать по алгоритму, составлять алгоритмы действий. Воспитание познавательной активности, самостоятельности. Воспитание познавательной активности, самостоятельности.

Дано :тело Т, αβ, ОХ-ось, ОХα, ОХβ ОХα=a, ОХβ=b, а

a хіхіb х α β φ(x) Приближённое значение Vn объёма тела Т тем точнее, чем больше n и, следовательно, меньше xi V=

A A1A1 A2A2 B B1B1 B2B2 C C1C1 C2C2 O X h X Объем наклонной призмы Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту 1.Т реугольная призма Т.п. имеет S основания и высоту h. O=OX (АВС); OX (АВС); (АВС)||(А 1 В 1 С 1 ) ; (А 1 В 1 С 1 )-плоскость сечения: (А 1 В 1 С 1 ) OX S(x)-площадь сечения; S=S(x), т.к. (АВС)||(А 1 В 1 С 1 ) и ABC= A 1 B 1 C 1 (АА 1 С 1 С- параллелограмм АС=А1С1,ВС=В 1 С 1, АВ=А 1 В 1 )

V=V 1 +V 2 +V 3 = =S 1 *h+S 2 *h+S 3 *h= =h(S 1 +S 2 +S 3 )=S*h S1S1 S2S2 S3S3 h Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ребру сечения 2. Наклонная призма с многоугольником в основании

h A A1A1 B B1B1 C C1C1 M(х) M1M1 Объем пирамиды Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту 1. Д ДД Дана треугольная пирамида O X OX (АВС), OX (АВС)=М; OX (A 1 B 1 C 1 )=М1 Х- абсцисса точки М; S(x)-площадь сечения; S-площадь основания ABC A 1 B 1 C 1 так, как АВ А 1 В 1 ; АС А 1 С 1 ; ВС В 1 С 1 АВ:А 1 В 1 =k ОА:ОА 1 = k; аналогично ВС:В 1 С 1 =АС:А 1 С 1 =k; S:S(x)=k² ; A MO M 1 A 1 O 1 OM:OM 1 =k; ОМ 1 :ОМ=Х:h k=Х:h; S :S(x)=(Х:h)²= k ² S(×)=(S*ײ):h²

S 1 + S 2 + S 3 S1S1 S2S2 S3S3 h V=1/3*( S1+ S2+ S3)*h Объем пирамиды, имеющей в основании многоугольник. Следствие : Объем усеченной пирамиды, высота которой h, а площади оснований SuS1, вычисляется по формуле: α α1α1 φ φ1φ1 М М1М1 O

Теорема Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. h х х O A A1A1A1A1 М М1М1М1М1 R R1R1R1R1

Доказательство Д Дано: конус с объемом V, радиусом основания R, высотой h и вершиной в точке О. Введем ось ОХ (ОМ – ось конуса). Произвольное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ, является кругом с центром в точке М1 - пересечения этой плоскости с осью ОХ. Обозначим радиус этого круга через R1, а площадь сечения через S(х), где х – абсцисса точки М1. h х х A A1A1A1A1 М М1М1М1М1 R R1R1R1R1 O ΔОМА~ΔОМ1А1

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=h, получаем h х х A A1A1A1A1 М М1М1М1М1 R R1R1R1R1 O Площадь S основания конуса равна ПR², поэтому Следствие Объем V усеченного конуса, высота которого равна h, а площади оснований равны S и S1, вычисляется по формуле

A М O C хх Объем шара Теорема :Объем шара радиуса R равен 4/3πR³ Дано: шар, Rш ; О- центр шара; ОХ – ось шара; αOX ;М- центр круга сечения; ОС=r; Sсеч. = S (x); х- абсцисса М Найти : V S (x)=πr²S (x)=π(R²-x²) -R x R Применяя основную формулу для вычисления объемов имеем :а =-R; b=R r R

A B O C АВ=h хШаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. На чертеже два шаровых сегмента- верхний и нижний. Круг, полученный в сечении – основание сегмента, АВ- высота верхнего сегмента, ВС- высота нижнего сегмента (оба отрезка –части диаметра АС. ОК=R ш.) К Vш. с. =πh²(R-1/3h) OX S (x)=πх², где R-h x R где S (x)- площадь сечения V=π(R²-x²)dx=π(R²x-x³/3)| =πh²(R-1/3h) R R-h R-h R По определению правила вычислению объемов a=R-h; b=R S (x)- непрерывная функция на [a; b] h

Шаровой слой A B C Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями. Круги, полученные в сечениях- основания ш шш шарового слоя, расстояние между этими плоскостями- в вв высота шарового слоя. Объем шарового слоя – разность объемов двух шаровых сегментов с высотой АС и АВ.

h R r O Шаровой сектор V=2/3πR²h Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом меньше °, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов. Ш ШШ Шаровой сектор состоит из конуса и шарового сегмента с высотой h hh h