УрокУрок в 10 академическом классе Применение свойств обратных тригонометрических функций при решении уравнений и неравенств Учитель Алтухова Ю.В.

Содержание Слайд 3. Слайд 3. Эпиграф Слайд 4. Слайд 4. Из истории … Слайд 5. Слайд 5. Виды аркфункций Слайд 6. Слайд 6. Определения арксинуса, арккосинуса числа Слайд 7Слайд 7. Определения арктангенса и арккотангенса числа Слайд 8. Слайд 8. Работаем устно. Связь арксинуса и арккосинуса одного числа Слайд 9. Слайд 9. Работаем устно. Связь тангенса и котангенса одного числа Слайд 10Слайд 10. Работаем устно по определениям терминов Слайд 11Слайд 11. Устно. Найти значения выражений Слайд 12. Слайд 12. Проверка домашнего задания. Доказать тождества Слайд 13. Слайд 13. Проверка домашнего задания. Работа с графиками функций Слайд14. Слайд14. Графический способ решения уравнения из д/з Слайд 15. Слайд 15. Графический способ решения Неравенства Слайд 16. Слайд 16. Функционально-графический метод Слайд 17. Вывод формул (простейшие)Слайд 17. Слайд 18. Слайд 18. Формулы решения простейших уравнений Слайд 19. Слайд 19. Решаем устно простейшие ур-я Слайд 20. Слайд 20. Проверочный диктант.. Слайд 21. Слайд 21. «Ключ» к диктанту Слайд 22. Слайд 22. Основные виды уравнений в ШКА Слайд 23. Слайд 23. Методы решения уравнений (нер-в) Слайд 24. Слайд 24. Пример решения неравенства ФГМ Слайд 25. Слайд 25. Пример 2 Слайд 26. Слайд 26. Алгоритм решения неравенства ФГМ Слайд 27. Слайд 27. Специальные методы решения Слайд 28. Слайд 28. График функции y=arcsin x Слайд 29Слайд 29. График функции y=arccos x Слайд 30. Слайд 30. График функции y=arctg x Слайд 31Слайд 31. График функции y=arcctg x Слайд 32Слайд 32. Свойства одноименных монот. функций Слайд 33Слайд 33. (неравенств) Слайд 34. Слайд 34. Пример решения уравнения Слайд 34. Слайд 34. Пример решения неравенства Слайд 35. Слайд 35. Дидактический материал. Решите уравнения (неравенства) Слайды Слайды Д/з: доказать тождества Слайд 40. Слайд 40. Методы решения. По определению. Слайд 41. Слайд 41. Функционально.-графический Слайд 42. Слайд 42. Применим тождества Слайд 43. Слайд 43. Свойства одноименных функций Слайд 44. Слайд 44. Сведение к квадратному Слайд 45. Слайд 45. Тригоном. функция обеих частей Слайд 46. Слайд 46. Оценка обеих частей

«Функция, как правило, определяется для тех значений аргумента, какие для данной задачи представляют реальное значение» Хинчин А.Я.

Обратные тригонометрические функции широко используются в математическом анализе. Одной из первых функций, для которых было получено представление бесконечным степенным рядом, была функция у=arctgx. Из этого ряда Г.Лейбниц при фиксированном значении аргумента х=1 получил знаменитое представление числа бесконечным рядом: Содержание

Обратные тригонометрические функции у=arcsinx график у=arccosx график у=arctgx график у=arcctgx график Содержание

0 Определение arcsin a arcsin a =arccos a arccos a = Содержание Cлед. слайдслайд

0 Определение arctg a =arcctg a arcctg a = Содержание Cлед. слайдслайд

Работаем устно Содержание Cлед. слайдслайд

Работаем устно Содержание Cлед. слайдслайд

Работаем устно Имеет ли смысл выражение? Может ли значение выражения быть равно Содержание Cлед. слайдслайд

Работаем устно Найдите значения выражений: Содержание Cлед. слайдслайд справка

Проверяем домашнее задание Задание1. Доказать тождества (смотри распечатку) Содержание Cлед. слайдслайд

Проверяем домашнее задание Зад.2Найти сумму координат точек пересечения графиков функций б) а) Содержание Cлед. слайдслайд

Графический метод решения уравнений (пример 1)метод Решите графически уравнение. Ответ.1. 1) Строим график 2) Строим график в той же системе координат. 3) Находим абсциссы точек пересечения графиков (значения берутся приближенно). 4)Записываем ответ. Содержание

Графический метод решения неравенств (пример 1)метод Решите графически неравенство 1) Строим график 2) Строим график в той же системе координат. 3) Находим абсциссы точек пересечения графиков (приближенно) 4) Определяем промежуток, на котором график первой функции лежит не выше графика второй (в данном случае) 5) Записываем ответ. Ответ. Содержание Cлед. слайдслайд

Функционально-графический методметод решения уравнений Пример: решите уравнение 3). Уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня. 4). Подбором находим, что x=0. Ответ. 0. Решение. Для неравенствнеравенств Содержание Cлед. слайдслайд

Попробуйте решить функционально-графическим методом уравнение А проще? По определению: так как… Содержание Cлед. слайдслайд

arcsinx=tarccosx=t arctgx=t arcctgx=t Простейшие уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции методы виды Содержание Cлед. слайдслайд

Работаем устно Содержание Cлед. слайдслайд методы

Решаем простейшие… Вариант 1Вариант 2 Содержание Cлед. слайдслайд

Проверьте себя! Вариант 1 Вариант 2 Содержание Cлед. слайдслайд

Виды уравнений Целые уравнения Дробно-рациональные Иррациональные Тригонометрические Уравнения, содержащие переменную под знаком обратной тригонометрической функции Уравнения, содержащие переменную под знаком обратной тригонометрической функции Показательные Логарифмические Cлед. слайдслайд Содержание Распознать

Методы решения уравнений (неравенств) Графический Основные Специальные применяем определениеприменяем определение Функционально- графический К простейшим, теория Cлед. слайдслайд Содержание Практика Примени тождество Примени свойства одноименных монотонных функций Сведи к квадратному Возьми удобную тригонометрическую функцию обеих частей Оцени обе части

Решить неравенство, используя функционально-графический метод 1) Решение Уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня 4. Подбором x=0 5. Строим схематически графики через точку с абсциссой 0 6. Неравенство выполняется при 7. убывает на возрастает на D Содержание

Решить неравенство, используя функционально-графический метод 1) Решение. 3. Уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня 5. Строим схематически графики через точку с абсциссой 1/2 6. Неравенство выполняется при Подбором Содержание

Функционально-графический метод решения неравенства f(x) < g(x) : 1. Подбором найдем корень уравнения f(x)=g(x), используя свойства монотонных функций; 2. Построим схематически графики обеих функций, проходящие через точку с найденной абсциссой; 3. Выберем решение неравенства, соответствующее знаку неравенства; 4. Запишем ответ. Содержание

Специальные методы решения уравнений (неравенств)методы Используй тождества для обратных тригонометрических функций Выполни замену, сведи к алгебраическому «Возьми удобную функцию» обеих частей уравнения (неравенства) Используй свойства монотонности одноименных функцийсвойства монотонности Оцени обе части уравнения (неравенства) Содержание Методы

у = arcsinx Содержание

у=arccos x Содержание

у=arctgx Содержание

у=arcctgx Содержание

Применение свойств одноименных монотонных функций к решению уравнений = Содержание

Применение свойств одноименных монотонных функций к решению неравенств > > > > > > > > Содержание

Решение уравнений с помощью свойств одноименных монотонных функций Пример: Решение. 1)Функция у=arcsin t монотонна для поэтому каждое свое значение она принимает при единственном значении аргумента, значит, 2) Проверка: Ответ. 0 Содержание

Решение неравенств с помощью свойств одноименных монотонных функций Пример: Решение. 2)Функция у=arcsin t монотонно возрастает на D, поэтому исходное неравенство на D равносильно неравенству того же знака, то есть 3) Выберем решения неравенства с учетом D(у): Содержание

Решите уравнения Содержание Методы

Содержание Задание 1. Доказать тождества К дом. заданию

Содержание Доказать тождества К дом. заданию

Содержание Задание 2. Используя тождества 5-25, составить новые, верные на ОДЗ, например: имеем тождество Тогда тождество также верно на ОДЗ. К дом. заданию

Содержание Методы решения уравнений (неравенств), содержащих обратные тригонометрические функции (Поменяйте знак «=» на знак и решите полученное неравенство) I. Используем определение

Содержание II. Используем функционально- графический метод

Содержание III. Применим тождество

Содержание IV. Используем свойства одноименных монотонных функций (не забудьте учесть ОДЗ!)

Содержание V. Сведем к квадратному (алгебраическому)

Содержание VI. Возьмем «удобную тригонометрическую функцию» обеих частей уравнения (неравенства)

Содержание VII. Оценим обе части

Содержание Определи вид уравнения Виды Решите уравнения

Методы решения уравнений (неравенств) Графический Основные Специальные применяем определениеприменяем определение Функционально- графический К простейшим, теория Cлед. слайдслайд Содержание Практика Примени тождество Примени свойства одноименных монотонных функций Сведи к квадратному Возьми удобную тригонометрическую функцию обеих частей Оцени обе части

arcsinx=tarccosx=t arctgx=t arcctgx=t Простейшие уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции методы виды Содержание

Свойства аркфункций назад

Спасибо за урок! Успехов в дальнейшем изучении тригонометрии! Содержание

Об авторе Презентацию подготовила учитель математики Брянского городского лицея 1 имени А.С.Пушкина Алтухова Юлия Вячеславна