Курс лекций по теоретической механике Статика Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки. Завершение – Esc. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

Лекция 7. Лекция 7 Аналитическое определение главного вектора и главного момента. Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил. Возможные случаи приведения системы. Зависимость главного момента от выбора центра приведения. Инварианты системы. Теоремы Вариньона.

Лекция 7 Условием равновесия пространственной произвольной системы сил является одновременное обращение главного вектора и главного момента системы в ноль: Уравнения равновесия получаются в виде системы шести уравнений из условий равновесия с использованием выражений для проекций главного вектора и главного момента системы сил: Аналитическое определение главного вектора системы – вычисляется так же, как и ранее равнодействующая, через проекции на координатные оси и единичные векторы (орты): Отсюда проекции главного вектора : Модуль главного вектора : Направляющие косинусы главного вектора : Аналитическое определение главного момента системы – вычисляется аналогично через проекции на координатные оси и единичные векторы (орты): Отсюда проекции главного момента : Модуль главного момента : Направляющие косинусы главного момента : Возможные случаи приведения пространственной произвольной системы сил: Дополнительное условиеПростейший вид системы 1Условия равновесия 2Равнодействующая 3Пара сил 4Равнодействующая Силовой винт (сила и пара) Условие приведения системы к равнодействующей: В аналитической (координатной) форме: 20

Лекция 7 (продолжение – 7.2) Зависимость главного момента системы от выбора центра приведения – рассмотрим как изменяется момент произвольной силы F i при переходе от одного центра приведения к другому и запишем выражения для моментов силы относительно каждого из центров: 1. Свяжем между собой точки приведения A и B радиус-вектором d: 2. Подставим радиус-вектор r Bi в выражение для момента силы M B (F i ): 3. Просуммируем моменты всех сил M B (F i ): 4. Получили зависимость главного момента сил от выбора центра приведения: Рассмотрим более подробно приведение системы сил к простейшему виду с использованием этой зависимости. Пусть система привелась в точке A к главному вектору R* и паре с главным моментом M A, имеющих между собой произвольный угол α. A 1. Разложим главный момент пары M A на два момента M* и M 1, по двум направлениям: направлению главного вектора и перпендикулярно ему. 2. Представим пару сил с моментом M 1, в виде сил, равных по модулю главному вектору. Плечо этой пары будет равно: 3. Систему сил в точке A удалим (аксиома присоединения). 4. Оставшуюся пару сил с моментом M* перенесем в точку приложения оставшейся силы R* (теорема о переносе пары в пространстве). O Таким образом, исходная система сил в центре приведения A в новом центре приведения O превратилась в силовой (статический) винт и более не может быть упрощена. Перпендикулярная главному вектору составляющая главного момента M 1 исчезла, а другая составляющая M* осталась неизменной. Заметим, исходная величина главного момента равна: При выборе точек приведения по линии AO от исходной точки до конечной d 0 и главный момент M A M* = min, минимальному главному моменту. Геометрическое место точек центров приведения, для которых главный момент системы является минимальным называется центральной осью системы. Кинематическое состояние системы не меняется при переносе главного вектора и главного минимального момента вдоль центральной оси системы. Следовательно, полученный результат справедлив для любой точки приведения, лежащей на этой оси. Можно показать, что при выборе точек приведения на одном и том же расстоянии от центральной оси (цилиндрической поверхности) главные моменты системы равны по модулю и образуют одинаковый угол α с образующей цилиндра: Главный минимальный момент может быть вычислен как проекция главного момента в любой точке приведения на центральную ось: Умножая на модуль главного вектора левую и правую части выражения главного минимального момента в проекции на центральную ось получаем:, откуда главный минимальный момент выражается через скалярное произведение: 21

Лекция 7 (продолжение – 7.3) Инварианты системы сил – величины, не зависящие от выбора центра приведения: Первый (векторный) инвариант – главный вектор системы сил R*: Главный момент не является инвариантом, поскольку он зависит от выбора центра приведения. Однако существует величина, связанная с главным вектором, не зависящая от выбора центра приведения: 1. Запишем зависимость для главного момента системы от выбора точки приведения: 2. Умножим левую и правую части этого выражения скалярно на главный вектор и раскроем скобки: 3. Второе слагаемое в правой части обращается в ноль, т.к. главный вектор R* перпендикулярен вектору векторного произведения в скобках. Отсюда получаем тождество: Таким образом, скалярное произведение главного вектора R* на вектор главного момента M A есть второй (скалярный) инвариант: Отсюда, главный минимальный момент M* также является инвариантной величиной: Теоремы Вариньона о моментах равнодействующей для пространственной системы сил: Если система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра равен геометрической сумме моментов сил системы относительно того же центра. момент равнодействующей относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов сил системы относительно той же оси. Доказательство: Пусть система сил F 1, F 2, F 3 … приводится к равнодействующей, приложенной в точке O. Такая система не находится в равновесии (R 0). A O Уравновесим эту систему силой R, равной равнодействующей R, направленной по линии ее действия в противоположную сторону (аксиома о двух силах). Система исходных сил F 1, F 2, F 3 … и уравновешивающей силы R находится в равновесии и должна удовлетворять условиям равновесия, например: Поскольку сила R, равна равнодействующей R и направлена по линии ее действия в противоположную сторону, то M A (R) = - M A (R). Подстановка этого равенства в уравнение равновесия дает: или Cпроектируем это векторное равенство на любую ось, например, x: 22