Геометрия Билет 7 за 9 класс Работу выполнил:М.В.Сорокин(9В) Преподаватель:Г.С.Васина

Средняя линия Определение: Отрезок соединяющий середины противоположных сторон называется средней линией. Утверждение: Если две прямые отсекают на параллельных прямых равные отрезки, то эти прямые параллельны и отрезки равны. FM –средняя линия

Свойства средней линии треугольника Теорема(1 свойство):Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна его половине. Дано: Тр.ABC, MN – ср. линия Доказать:MN // AC, MN=1/2AC Доказательство: 1)Д. п. NK=MN 2)BN=NC, MN=NK, (по I признаку) тр.MBN=тр.NKC=>MB=KC 3)AM=MB, MB=CK=>AM=CK 4) AM // CK 5)AM // CK, AM=CK =>MK // AC, MK=AC =>MN // AC 6)MK=AC, MN=1/2MK =>MN=1/2AC

Следствие(2 свойство): Треугольник средними линиями разбивается на четыре равных треугольника. Все треугольники равны по 3 признаку

1признак средней линии треугольника Если отрезок выходит из середины стороны треугольника и параллелен другой стороне, то это средняя линия треугольника Дано: тр.ABC, AH=MB, MN // AC Доказать: MN – cp. Линия Доказательство: 1)Дополнительное построение AK=MN 2) MN // AK, MN=AK=> MA // NK и MA=NK 3) MB=MA, MA=NK=>MB=NK 4)

2признак средней линии треугольника Если отрезок параллелен стороне треугольника и равен его половине, то отрезок является средней линией. Дано: тр.ABC, MN // AC, MN=1/2 AC Доказать: MN – ср. линия Доказательство: 1)Дополнительное построение MK и MN, AK=MN=KC 2)

свойство средней линии о хорде Средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок (хорду), соединяющую вершину треугольника с точкой на стороне, параллельной средней линии. Дано:ABC-треуг.,MK-сред. лин., AN-хорда Док-ть: AQ=QN Док-во: 1)Рассмотрим ACN-тр. AK=KC(по усл.) MK//BC(по пр.)=>QK//NC=>QK-сред. лин. CAN-тр.=> =>AQ=QN ч.т.д.

Средняя линия трапеции Определение:Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Теорема(свойство):Средняя линия // основанию и равна их полу суме. Дано:ADCD – трапеция, MN – ср. линия Доказать:MN//BC//AD, MN=1/2(BC+AD) Доказательство: 1)Дополнительное построение: BN=NE 2) Рассмотрим тр.ABE (по опред.), AM=MB, BN=NE=> MN – ср. линия 3) BN=NE, CN=ND, тр.BCN = тр.NDE => BC=DE 4) MN=1/2 AE, BC=DE, AE=AD+DE=> MN=1/2(BC+AD) ч.т.д

Список литературы Тетрадь по геометрии за 8 класс.