Квадратный трёхчлен и теорема Виета Что называется квадратным трёхчленом Формулировка теоремы Виета и доказательствоФормулировка теоремы Виета и доказательство Примеры заданий для решения квадратных трёхчленовПримеры заданий для решения квадратных трёхчленов Учитель: Чехова Нина Григорьевна

Выражение Зх 2 -2x-5 является многочленом второй степени с одной переменной. Такие многочлены называют квадратными трехчленами. Квадратным трехчленом называется мно­гочлен вида ах 2 + bх + с, где х переменная, а, Ь и с не­которые числа, причем а не равно 0. Значение квадратного трехчлена Зх 2 - 2х - 5 зависит от значения х. Так, например: если х = 5, то Зх 2 - 2х - 5 = 60; если х = 1 у то Зх 2 - 2х - 5 = -4; если х = -1, то 3x 2 - 2х -5 = 0; если х = 2, то Зх 2 - 2x - 5 = 3. Мы видим, что при х - 1 квадратный трехчлен Зх 2 - 2х - 5 обращается в нуль. Говорят, что число - 1 является корнем этого трехчлена. Корнем квадратного трехчлена называется значение пере­менной, при котором значение этого трехчлена равно нулю. Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена ах 2 + bх + с, надо решить квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0.

Если х 1 и х 2 корни квадратного трехчлена ах 2 + bх + с, то ах 2 + bх + с = а (х - х 1 ) (х - х 2 ). Доказательство: Вынесем за скобки в многочлене ах 2 + bх + с множитель а. Получим: ах 2 +bх + с =а(x 2 +(b/a)x +c/a) Так как корни квадратного трехчлена ах 2 + bх + с являются также корнями квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0, то по теореме Виета x 1 +x 2 =-b/a, x 1 *x 2 = c/a Отсюда b/a, = -(x 1 + x 2 ), а c/a=x 1 *x 2 Поэтому х 2 + b/a х + c = х 2 -(x 1 + х 2 )х + х 1 *х 2 =x 2 - x 1 x -x 2 x +x 1 x 2 =x (x - x 1 )-x 2 (x-x 1 )=(x-x 1 )(x -x 2 ) Итак, ах 2 + bх + с = а (x - х 1 ) (x - х 2 ). ч.и.т.д. Заметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами пер­вой степени.

Доказательство: Пусть трехчлен ах 2 + bх + с не имеет корней. Пред­положим, что его можно представить в виде произ­ведения многочленов первой степени: ах 2 + bх + с = (kx + т) (рх + q), где k, т, р и q некоторые числа, причем k не равно 0 и p не равно 0. Произведение (kx + т) (рх + q) обращается в нуль при x=-m/k и x=-q/p Следовательно, при этих значениях х обращается в нуль и трехчлен ах 2 + bх + с, т.е. числа -m/k и -q/p являются его корнями. Мы пришли к противоречию, так как по условию этот трехчлен корней не имеет. Основоположником этой теоремы был Франсуа Виет- выдающийся французский математик XVI века, положивший начало алгебре как науке. По образованию и основной профессии юрист, по склонности души математик.

Биография Родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт французской провинции Пуату Шарант. Отец Виета был юристом, а мать (Маргарита Дюпон) происходила из знатной семьи, что облегчило дальнейшую карьеру её сына. Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем в университете Пуатье, где получил степень бакалавра (1560). С 19 лет занимался адвокатской практикой в родном городе. Около 1570 года подготовил «Математический Канон» труд по тригонометрии, который издал в Париже в 1579 году.

В 1571 году переехал в Париж и вскоре перешёл на государственную службу, но увлечение его математикой продолжало расти. Благодаря связям матери и браку своей ученицы с принцем де Роганом Виет сделал блестящую карьеру и стал советником сначала короля Генриха III, а после его убийства Генриха IV. По поручению Генриха IV Виет сумел расшифровать переписку испанских агентов во Франции, за что был даже обвинён испанским королём Филиппом II в использовании чёрной магии. Когда в результате придворных интриг Виет был на несколько лет устранён от дел ( ), он полностью посвятил себя математике. Изучил труды классиков (Кардано, Бомбелли, Стевина и др.). Итогом его размышлений стали несколько трудов, в которых Виет предложил новый язык «общей арифметики» символический язык алгебры. Только часть трудов этого талантливого и плодовитого учёного была издана при жизни Виета. Главное его сочинение: «Введение в аналитическое искусство» (1591), которое он рассматривал как начало всеобъемлющего трактата, но продолжить не успел. Есть некоторые указания, что учёный умер насильственной смертью.

Научная деятельность Виет чётко представлял себе конечную цель разработку нового языка, своего рода обобщённой арифметики, которая даст возможность проводить математические исследования с недостижимыми ранее глубиной и общностью: Все математики знали, что под их алгеброй… были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти; задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства, представляющего поэтому самый верный путь для математических изысканий. Виет всюду делит изложение на две части: общие законы и их конкретно-числовые реализации. То есть он сначала решает задачи в общем виде, и только потом приводит числовые примеры. В общей части он обозначает буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты» (буквально: содействующие). Виет использовал для этого только заглавные буквы гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов.

Другие заслуги Виета: знаменитые «формулы Виета» для коэффициентов многочлена как функций его корней; новый тригонометрический метод решения неприводимого кубического уравнения, применимый также для трисекции угла; первый пример бесконечного произведения: полное аналитическое изложение теории уравнений первых четырёх степеней; идея применения трансцендентных функций к решению алгебраических уравнений; оригинальный метод приближённого решения алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами.

Новая система позволила просто, ясно и компактно описать общие законы арифметики и алгоритмы. Символика Виета была сразу же оценена учёными разных стран, которые приступили к её совершенствованию. Английский учёный Томас Хэрриот в своём посмертно изданном (1631) труде уже очень близок к современной символике: вместо заглавных букв применяет строчные, степени записывает не словесно, а мультипликативно (aaa вместо a3), использует знак равенства (предложенный в 1557 году Робертом Рекордом), а также придуманные самим Хэрриотом символы сравнения «>» и «

1 уровень сложности Выделим из трехчлена Зх х квадрат дву­члена. Решение: Вынесем за скобки множитель 3: Зх 2 -36х = 3(х 2 -12х + 140/3 ). Преобразуем выражение в скобках. Для этого представим 12x в виде произведения 2 6 х, а затем прибавим и вычтем 6 2. Получим: Зх 2 -36х = 3[ х 2 -12х + 140/3 ) = = 3[x 2 -2*6*х /3) = 3((х-6) /3 ) = 3(х-6) Значит, Зх х = 3 (х - 6) Ответ: 3 (х - 6)

2 уровень сложности Найти все пары квадратных трехчленов x 2 + ax + b, x 2 + cx +d такие, что a и b – корни второго трехчлена, c и d – корни первого. Решение: x 2 + ax, x 2 - ax, a – любое число; x 2 + x - 2, x 2 + x - 2. По теореме Виета a = -(c + d), b = cd, c = -(a+b), d = ab. Получили систему уравнений a + b + c = 0, a + c + d = 0, b = cd, d = ab, которая равносильная системе a + b + c = 0, b = d, b = bc, b = ab, Если b = 0, то d = 0, c =- a, a – любое. Если же b 0, то a = c = 1, b = d =- 2. Ответ: x 2 + ax, x 2 - ax, a – любое число; x 2 + x - 2, x 2 + x - 2.

3 уровень сложности: Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить в виде суммы двух квадратных трёхчленов с нулевыми дискриминантами. Решение: Рассмотрим квадратный трехчлен f (x) = ax 2 + bx + c. Выделим полный квадрат, для этого обозначим t = x + b/2a и D = b 2 - 4ac. Тогда ax 2 + bx + c = at 2 – (D/4a 2 ) При D 0 положим p =. Тогда искомое представление a(t 2 – D/4a 2 ) = a/2((t - p) 2 + (t + p) 2 ) = a/2(x+(b--D)/2a) 2 +a/2(b+-D)/2a ) 2. При D > 0 положим q =. Тогда a(t 2 – D/4a 2 ) = a(2(t + q) 2 - (t + 2q) 2 ) = 2a(x + (b+D/2)/2a) 2 -a(x+(b+2D) 2