Открыть

Способы решений полных квадратных уравнений. Разложение Выделение Теорема Виета «Переброска» Свойство коэффициентов Графическое решение Выйти С помощью Дискриминанта

С помощью Дискриминанта. Дискриминант позволяет определить сколько же корней имеет данное квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения имеет вид: она позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Таким образом, квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, если D > 0, то имеет два различных корня; если D = 0, то имеет единственный корень; если D < 0, то не имеет корней. Назад

Разложение на множители. Пример 1 х 2 – 4х + 4 = 0, разложим левую часть уравнения на множители; х 2 – 2х – 2х + 4 = 0, х ( х – 2 ) – 2 ( х – 2 ) = 0, ( х – 2 )( х – 2 ) = 0, произведение равно нулю, значит хотя бы один из его множителей равен нулю х – 2 = 0, х = 2. Ответ: 2. Пример 2 х х – 24 = 0, х х – 2х – 24 = 0, х ( х + 12 ) – 2 ( х + 12 ) = 0, ( х + 12 ) ( х – 2 ) = 0, х + 12 = 0 или х – 2 = 0 х = - 12 х = 2. Ответ: -12 и 2. Назад

Метод выделения полного квадрата. Пример 1 х 2 – 4х + 4 = 0, используем формулу сокращенного умножения; ( х – 2 ) 2 = 0, х – 2 = 0, х = 2. Ответ: 2 Пример 2 х 2 + 6х – 7 = 0, выделим в левой части полный квадрат х 2 + 2х · – 3 2 – 7 = 0, первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3, поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2. Преобразуем левую часть уравнения прибавляя к ней и вычитая 3 2. ( х + 3 ) 2 – 9 – 7 = 0, ( х + 3 ) 2 – 16 = 0, ( х + 3 ) 2 = 16, х + 3 = 4 или х + 3 = - 4 х = 1 х = - 7. Ответ: 1 и -7. Назад

Решение уравнений с использованием теоремы Виета Приведенное квадратное уравнение имеет вид х 2 + рх + q = 0. Его корни удовлетворяют теореме Виета: х 1 · х 2 = q х 1 + х 2 = - р. По коэффициентам можно предсказать знаки корней: Свободный член «+»Свободный член «-» Назад

Свободный член положительный. Если свободный член приведенного уравнения положителен, то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента. Если q > 0 и р > 0, то оба корня отрицательны. Если q > 0 и р < 0, то оба корня положительные. Пример 1 х х + 9 = 0, х 1 = - 1 и х 2 = - 9, т.к. q = 9 > 0 и р = 10 > 0; Пример 2 х 2 – 6х + 9 = 0, х 1 = 3 и х 2 = 3, т.к. q = 9 > 0 и р = - 6 < 0. Назад

Свободный член отрицательный. Если свободный член приведенного уравнения отрицателен, то уравнение имеет два различных по знаку корня. Если q 0, то больший по модулю корень будет отрицателен. Если q < 0 и р < 0, то больший по модулю корень будет положителен. Пример 1 х 2 + 2х – 8 = 0, х 1 = - 4 и х 2 = 2, т.к. q = ; Пример 2 х 2 – 2х – 15 = 0, х 1 = 5 и х 2 = - 3, т.к. q = - 15 < 0 и р = - 2 < 0. Назад

Решение уравнения способом «переброски». Умножая обе части квадратного уравнения на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аb х + а с = 0. Пусть а х = у, откуда ; тогда получим уравнение у 2 + bу + а с = 0, равносильное данному. С помощью теоремы Виета найдем корни: у 1 и у 2, где у 1 у 2 = ас и у 1 + у 2 = - b. Окончательно получаем и. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. Пример 2х 2 – 11х + 15 = 0, «перебросим» коэффициент 2 к свободному члену: у 2 – 11у + 30 = 0, согласно теореме Виета найдем корни: у 1 у 2 = 30 и у 1 + у 2 = 11, у 1 = 5 и у 2 = 6, окончательно получим: х 1 = 5/2 и х 2 = 6/2, х 1 = 2,5 и х 2 = 3. Ответ: 2,5 и 3. Назад

Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а 0. Первое свойство Второе свойство Третье свойство Назад

Первое свойство коэффициентов. Если сумма коэффициентов равна нулю, т.е. а + b + с = 0, то х 1 = 1, х 2 =. Доказательство: Разделим обе части уравнения на а, получим приведенное квадратное уравнение Согласно теореме Виета: х 1 · х 2 =, х 1 + х 2 = -. По условию, а + в + с = 0, тогда в = - а - с. Значит, х 1 · х 2 = = 1 ·, х 1 + х 2 = - = - = 1 +. Получаем х 1 = 1, х 2 =, что и требовалось доказать. Пример 3х 2 + 5х – 8 = 0, т.к. а + b + с = 0 ( – 8 = 0 ), то получим х 1 = 1, х 2 = = - Ответ: 1 и - Назад

Второе свойство коэффициентов. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х 1 = -1, х 2 = -. Доказательство аналогично. Пример 11х х + 16 = 0, Т.к. а - в + с = 0 (11 – = 0 ), значит х 1 = - 1, х 2 = - = -. Ответ: -1 и - Назад

Третье свойство коэффициентов. Если второй коэффициент b = 2k четное число, то формулу корней можно записать в виде. Пример 4х 2 – 36х + 77 = 0, а = 4, b = - 36, с = 77, k = - 18; D = k 2 – ас = ( - 18 ) 2 – 4 · 77 = 324 – 308 = 16, D > 0, два различных корня; х 1 = 5, 5, х 2 = 3,5. Ответ: 5,5 и 3,5. Назад

Графическое решение квадратных уравнений. Преобразуем уравнение х 2 + рх + q = 0 и получим вид: х 2 = - рх - q. Построим графики зависимостей у = х 2 и у = - рх - q. График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая. (приложение 1, рис.1).приложение 1, рис.1 Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; прямая и парабола могут касаться и имеют одну общую точку, значит уравнение имеет одно решение; прямая и парабола не имеют общих точек, т. е. квадратное уравнение не имеет корней. НазадПримеры

Примеры. Пример 1 х 2 – 3х – 4 = 0, запишем уравнение в виде х 2 = 3х + 4, рассмотрим графики зависимостей у = х 2 и у = 3х + 4, Построим параболу у = х 2 по координатам: Прямую у = 3х + 4 построим по двум точкам М (0; 4) и N(3; 13) (приложение 1, рис.2).приложение 1, рис.2 Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х 1 = -1 и х 2 =4. Ответ: - 1 и 4. Пример 2. х 2 – 2х + 1 = 0, Построим параболу у = х 2 по координатам (см. таблицу выше) и прямую у = 2х - 1 по двум точкам М(0; -1) и N(1\2; 0) (приложение 1, рис.3).приложение 1, рис.3 Прямая и парабола пересекаются в точке А с абсциссой х = 1. Ответ: 1. Пример 3. х 2 – 2х + 5 = 0, Построим параболу у = х 2 по координатам (см. таблицу выше) и прямую у = 2х - 5 по двум точкам М( 0; -5) и N( 2,5; 0) (приложение 1, рис.4).приложение 1, рис.4 Прямая и парабола не имеют точек пересечения, значит данное уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. x y Назад

Приложение. Рисунок 1 Рисунок 2 Назад

Приложение. Рисунок 3 Рисунок 4 Назад

Спасибо за внимание!