Расстояние от точки до плоскости Напомним, что расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость. Выведем формулу для нахождения расстояния от точки A 0 (x 0, y 0, z 0 ) до плоскости α, заданной уравнением ax + by + cz + d = 0. Пусть A(x, y, z) – точка плоскости α, - вектор нормали. Учитывая, что -ax - by - cz = d, и то, что искомое расстояние h равно получаем

Упражнение 1 Найдите расстояние от точки O(0, 0, 0) до плоскости, заданной уравнением x + y + z = 1. Ответ:

Упражнение 2 В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки E и F – середины ребер BC и CC 1. Найдите расстояние от точки D до плоскости AEF. Решение. Пусть вершины куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), D 1 (0, 0, 1). Плоскость AEF задается уравнением x + 2y + 2z – 2 = 0. Искомое расстояние равно 2/3.

Упражнение 3 В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки E и F – середины ребер BC и CC 1. Найдите расстояние от точки B 1 до плоскости AEF. Решение. Пусть вершины куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), D 1 (0, 0, 1), B 1 (1, 1, 1). Плоскость AEF задается уравнением x + 2y + 2z – 2 = 0. Искомое расстояние равно 1.

Упражнение 4 В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки E и F – середины ребер BC и CC 1. Найдите расстояние от точки B до плоскости AEF. Решение. Пусть вершины куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), D 1 (0, 0, 1), B(1, 1, 0). Плоскость AEF задается уравнением x + 2y + 2z – 2 = 0. Искомое расстояние равно 1/3.

Упражнение 5 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB = a, BC = b, CC 1 = c. Найдите расстояние от точки D до плоскости ACD 1. Решение. Пусть вершины параллелепипеда имеют координаты: D(0, 0, 0), C(a, 0, 0), A(0, b, 0), D 1 (0, 0, c), B 1 (a, b, c). Плоскость ACD 1 задается уравнением Искомое расстояние равно

Упражнение 6 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB = a, BC = b, CC 1 = c. Найдите расстояние от точки B 1 до плоскости ACD 1. Решение. Пусть вершины параллелепипеда имеют координаты: D(0, 0, 0), C(a, 0, 0), A(0, b, 0), D 1 (0, 0, c), B 1 (a, b, c). Плоскость ACD 1 задается уравнением Искомое расстояние равно

Упражнение 7 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, точка D 1 – середина ребра A 1 C 1. Найдите расстояние от точки A 1 до плоскости AB 1 D 1. Плоскость AB 1 D 1 задается уравнением 2y + z – 1 = 0. Искомое расстояние равно Решение. Пусть D(0, 0, 0) – середина ребра AC, A(0, 0,5, 0), D 1 (0, 0, 1), A 1 (0, 0,5, 1),

Упражнение 8 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, точки D 1 и E – середины ребер A 1 C 1 и AA 1. Найдите расстояние от точки A 1 до плоскости B 1 D 1 E. Плоскость B 1 D 1 E задается уравнением y + z – 1 = 0. Искомое расстояние равно Решение. Пусть D(0, 0, 0) – середина ребра AC, A(0, 0,5, 0), D 1 (0, 0, 1), E(0, 0,5, 0,5),

Упражнение 9 В правильной треугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра AB. Найдите расстояние от точки B до плоскости SEC. Плоскость SEC задается уравнением Искомое расстояние равно Решение. Пусть O(0, 0, 0), E(0, 0,5, 0), F(0,5, 0, 0), S(0, 0, ).

Упражнение 10 В правильной треугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E и F – середины ребер BC и SB. Найдите расстояние от точки B до плоскости AEF. Решение. Пусть B(0, 0, 0), A(1, 0, 0), E(0, 0,5, 0), F(0,25, 0,25, ), Плоскость AEF задается уравнением Искомое расстояние равно