Дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Метод вариации произвольных постоянных Линейные неоднородные ДУ второго порядка с правой частью специального вида 1/16

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Рассмотрим линейное неоднородное ДУ (ЛНДУ) второго порядка: 2/16 Уравнение: Теорема 1 (1) левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (1), называется соответствующим ему однородным уравнением. (2) Общим решением y уравнения (1) является сумма его произвольного частного решения y* и общего решения y = C 1 y 1 +C 2 y 2, соответствующего ему однородного уравнения: ( о структуре общего решения ЛНДУ)

Метод вариации произвольных постоянных Частное решение у* уравнения (1) можно найти, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). 3/16 Пусть - общее решение уравнения (2) Заменим в общем решении постоянные С 1 и С 2 на неизвестные функции С 1 (х), С 2 (х) : Чтобы функция (3) была решением уравнения (1), необходимо чтобы функции С 1 (х), С 2 (х) удовлетворяли системе уравнений: (3) (4)

Метод вариации произвольных постоянных Определитель системы: 4/16 так как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений уравнения (2). Поэтому система (4) имеет единственное решение: Интегрируя функции находим С 1 (х), С 2 (х) а затем по формуле (3) составляем частное решение уравнения (1).

Метод вариации произвольных постоянных 5/16 Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Найдем частное решение исходного уравнения: Составим систему:

Метод вариации произвольных постоянных 6/16 Решим систему методом Крамера:

Метод вариации произвольных постоянных 7/16 Запишем частное решение уравнения: Следовательно, общим решением уравнения будет:

ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами: 8/16 (5) Согласно теореме 1, общее решение этого уравнения ищется в виде: Для уравнений с постоянными коэффициентами существует более простой способ нахождения y*, если правая часть уравнения f(x) имеет так называемый специальный вид: I II

ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, заключается в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (5) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (5) и из полученного тождества находят значения коэффициентов. 9/16 Правая часть имеет вид: I Многочлен n - ой степени Действительное число Уравнение (5) запишется в виде: Частное решение ищем в виде: где r – число, равное кратности α как корня характеристического уравнения; записанный с неопределенными коэффициентами - многочлен степени n,

ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида 10/16 rnY* r = 0 ( α не является корнем хар. уравнения: ) r = 1 : r = 2:0 1 2

ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида 11/16 Найти общее решение уравнения: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Найдем частное решение исходного уравнения: α = 0 не является корнем характеристического уравнения Подставим в исходное уравнение:

ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида 12/16 Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x : Общее решение исходного уравнения:

ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида 13/16 Правая часть имеет вид: Частное решение ищем в виде: где r – число, равное кратности α + iβ как корня характеристического уравнения; неопределенными коэффициентами, где l - наивысшая степень многочленов P и Q, то есть: - многочлены степени l, записанные с II Многочлены степени n и m Действительные числа

ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида 14/16 r l Y* r = r = 1 : 0 1

ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида 15/16 Найти общее решение уравнения: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Найдем частное решение исходного уравнения: Число является корнем хар. уравнения, поэтому r = 1 = 36 = 0

ЛНДУ второго порядка с правой частью специального вида 16/16 Подставим в исходное уравнение: Приравняем коэффициенты при sin x и при cos x