Правильные многогранники Выполнил: Ученик 10 б класса, школы 80 Гречкин Ярослав Учитель Шамсутдинова Р.Р

Содержание Многогранник. Правильный многогранник Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр Развертки правильных многогранников Формула Эйлера Звездчатый многогранник Звёздчатый додекаэдр Многогранники в природе. Тетраэдр Многогранники в природе. Куб и октаэдр Многогранники в природе. Икосаэдр

Многогранник. Правильный многогранник Многогранник – поверхность составленная из многоугольников, а также тело ограниченное такой поверхностью. Правильный выпуклый многогранник - многогранник, все грани которого одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой.

Тетраэдр Тетраэдр многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины. Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.

Куб Куб или гексаэдр правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его диагоналям. В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба. В куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.

Октаэдр Октаэдр - правильный многогранник, составленный из 8 равносторонних треугольников. Октаэдр имеет 8 граней (треугольных), 12 рёбер, 6 вершин (в каждой вершине сходятся 4 ребра). Площадь S и объём V, октаэдра длина ребра а вычисляется по формулам:

Додекаэдр Додекаэдр правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра. Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.

Икосаэдр Икосаэдр правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин 12.

Развертки правильных многогранников

Формула Эйлера Многогранн ик ВершиныГраниРёбра В+Г-Р Тетраэдр4462 Гексаэдр86122 Октаэдр68122 Додекаэдр Икосаэдр В последней колонке для всех многогранников один и тот же результат: В+Г- Р=2. Доказал это удивительное соотношение один из величайших математиков Леонард Эйлер (1707 – 1783), поэтому формула названа его именем: формула Эйлера. Для правильных многогранников можно составить таблицу:

Звездчатый многогранник Правильный невыпуклый многогранник (звездчатый)–правильный многогранник, у которого грани пересекаются.

Звёздчатый додекаэдр Большой звёздчатый додекаэдр принадлежит к семейству тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых многогранников. Грани большого звездчатого додекаэдра пентаграммы, как и у малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани. Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. Большой звёздчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г. Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра.

Многогранники в природе. Тетраэдр Форму тетраэдра имеют молекулы воды, метана, аммиака, алмаза, сфалерита, флюорита. Аммиак Метан Алмаз Флюорит Сфалерит

Многогранники в природе. Куб и октаэдр В форме куба кристаллизуется поваренная соль, сернистый цинк. В форме октаэдра кристаллизируются алмаз, хлорид натрия, перовскит, оливин, флюорит, шпинель.

Многогранники в природе. Икосаэдр Капсиды многих вирусов представлены в форме икосаэдра. Икосаэдрический капсид аденовируса Икосаэдрический капсид мимивируса Икосаэдрический капсид бактериофага