Многомерная случайная величина

Выборка многомерной (векторной) случайной величины в виде матрицы данных. Содержания оксидов даны в %

Диалоговое окно Пакета анализа меню Сервис в EXCEL. Выбор процедуры расчёта ковариационной матрицы

Заполнение диалогового окна процедуры расчёта ковариационной матрицы в пакете анализа EXCEL

Ковариационная матрица Полученная в результате расчёта ковариационная матрица и симметричное заполнение её наддиагональных элементов Диагональные элементы – суммы центрированных квадратов. Внедиагональные – суммы смешанных произведений.

Процедуры сравнения параметров распределения двух векторных случайных величин. Случайные величины представлены выборками химических анализов базальтов из двух толщ мезозойских вулканогенных отложений одного из районов Дальнего Востока.

Матрицы исходных данных, их ковариационные матрицы и средние векторы

Объединённая выборка и её параметры

Сравнение ковариационных матриц Сравнение ковариационных матриц возможно с помощью критерия обобщённых дисперсий, являющегося многомерным аналогом F-критерия. Пусть имеется две группы наблюдений объёмом n1 и n2( в нашем случае 7 и 9). Найдём для них ковариационные матрицы [D1] и [D2]. Сформулируем нулевую гипотезу H0: |D1|=|D2| при альтернативе H1: |D1| |D2|. Объединим выборки и получим обобщённую оценку ковариационной матрицы [D], предполагаемую общей для исследуемых генеральных совокупностей. Далее вычислим статистику M: представляющую собой разность между логарифмом определителя обобщённой ковариационной матрицы и средним значением логарифмов определителей выборочных ковариационных матриц. Критическое значение статистики M апроксимируется χи-квадрат распределением с числом степеней свободы равным 0,5 p (p+1), где p - размерность случайной величины. χ 2 = MC ; Определители ковариационных матриц находятся с помощью математической функции МОПРЕД таблиц EXCEL: |D| =1,742E-05, |D1|=4,572E-06, |D2|=1,562E-06

Заполнение диалогового окна функции МОПРЕД в EXCEL и получение значения определителя

Расчёт критерия обобщённых дисперсий и его апроксимация хи-квадрат критерием M=14*Ln|D| - 1|2(6*Ln|D1| +8*Ln|D2|)= С = 0,06661 ( для 6-мерной случайной величины) Хи-квадрат =MC=0.534 Критическое значение хи - квадрат для 21 степеней свободы (k=p(p+1)/2) и уровня значимости 0,05 равно 32.67, что намного превышает значение критерия. Следовательно, с вероятностью 0.95 мы не сможем отвергнуть гипотезу о равенстве ковариационных матриц рассмотренных выборочных совокупностей. Критическое значение хи-квадрат можно найти с помощью функции ХИ2ОБР пакета EXCEL

Проверим гипотезу о равенстве математических ожиданий случайных величин Воспользуемся критерием Хотеллинга, являющимся многомерным аналогом критерия Стьюдента.

Заполнение диалогового окна функции МОБР электронной таблицы EXCEL для обращения объединённой ковариационной матрицы. Обращённая матрица появится после нажатия клавиш Ctrl+Shift+Enter в заранее выделенном диапазоне

Вычисленные обратная матрица и вектор разности средних

Диалоговое окно функции МУМНОЖ таблицы EXCEL. Заполнение окна при умножении обратной матрицы на вектор-столбец разности средних с предварительным выделением области результата

Проверка нулевой гипотезы о равенстве средних векторов Умножим последовательно обратную матрицу на вектор- столбец разности средних, затем на этот же вектор строку. Результат умножим на отношение произведений объёмов выборок к сумме объёмов (n1x n2)/(n1+n2). Получим T- квадрат критерий Хотеллинга, равный 0,73. Рассчитаем далее апроксимирующий его F- критерий. где n 1 и n 2 – объёмы выборок, p – размерность случайной величины. Найдём критическое значение F для уровня значимости 0,05, p=6 и N1+n2-p-1=9 степеней свободы. Fкр = 3,37. С вероятностью 0,95 и даже большей можно принять нулевую гипотезу о равенстве средних векторов.