Тема урока : « Решение логических задач методом КРУГОВ Эйлера » Примеры решения задач

Немного истории Одним из первых, кто использовал для решения задач круги, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с кругами. Затем этот метод основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер (1707 – 1783). Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII века, родился в Швейцарии. В 1727 г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. Эйлер попал в круг выдающихся математиков, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира. Леонард Эйлер (1707 – 1783)

Приемы решения Рассмотрение простейших случаев кругов Эйлера – Венна а ) Пусть дано некоторое множество и указано свойство А. Очевидно, элементы данного множества могут обладать или не обладать данным свойством. Поэтому данное множество распадается на две части, которые можно обозначить через А и А *. На рисунке можно это изобразить двумя способами.

б) Пусть дано некоторое множество и указаны два свойства: А, В. Так как элементы данного множества могут обладать или не обладать каждым из этих свойств, то возможны четыре случая: АВ, АВ*, А*В, А*В*. Следовательно, данное множество распадается на 4 подмножества. Это можно изобразить также двумя способами: в виде кругов или диаграмм.

в) Пусть дано некоторое множество и указаны три свойства: А, В, С. В этом случае данное множество распадается на восемь частей. Это можно изобразить двумя способами.

Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера Задача 1. Сколько натуральных чисел из первого десятка не делится ни на 2, ни на 3? Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться кругами Эйлера. В нашем случае три круга. Пусть множество чисел, кратных 2– это множество А, а множество чисел, кратных 3 – множество В. Рассуждаем. На 2 делится каждое второе число. Значит, таких чисел будет 10:2=5. На 3 делится 3 числа (10:3). На 2 и 3 делятся те числа, которые делятся на 6. Такое число только одно. Поэтому множество А состоит из 5-1=4 чисел, множество В – 3-1=2 чисел. Отсюда следует, что в первом десятке содержится 10-(4+1+2)=3 числа. большой круг – это множество чисел от 1 до 10 внутри большого – два меньших круга, пресекающихся друг с другом.

Задача 2. С помощью кругов Эйлера можно ответить на множество вопросов, поставленных к одному условию задачи. Пусть круг А изображает всех учащихся, говорящих по-английски, круг Н – говорящих на немецком языке, Круг Ф – говорящих по-французски. Сколько учащихся говорит: а) на всех трех языках? б) по-английски и по- немецки? в) по-французски? Сколько всего учащихся, говорящих на иностранном языке? Сколько из них не говорит по-французски? Сколько из них не говорит по-немецки? Сколько из них не говорит на иностранном языке? Ответ: а) На всех трех языках говорят 3 ученика; б) По-английски и по-немецки – 15 человек; в) только по-французски – 8 учащихся. Всего 100 ( ) ребят, говорящих на иностранных языках. По-французски не говорят 77учащихся (100- ( ) Какие вопросы можно еще задать к данной задаче?

Задача для самостоятельного выполнения. В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют « тройки » 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по одному предмету имеют « тройки »: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют « тройки » и по математике и по истории, а 5 учеников – « тройки » по всем предметам. Сколько человек учится без « троек »? Сколько человек имеют « тройки » по двум из трех предметов ?

Решение. Нарисуем круги Эйлера. Внутри большего круга, изображающего всех учеников класса, поместим три меньших круга М, Р, И, означающих соответственно математика, русский язык и история. Дальнейшие расчеты не представляют большого труда. Так как число ребят, имеющих «тройки» по математике и истории, равно 7, то число учеников, имеющих только две «тройки» - по математике и по истории, равно 7-5=2. Тогда =6 учеников имеют две «тройки» - по математике и по русскому языку, а =4 ученика только две «тройки» - по истории и по русскому языку. В этом случае без «тройки» учится =4 ученика. А имеют «тройки» по двум предметам из трех 6+2+4=12 человек.

Задание : Составить алгоритм для решения задач с помощью кругов Эйлера. Записываем краткое условие задачи. Выполняем рисунок. Записываем данные в круги (или в диаграмму Эйлера). Выбираем условие, которое содержит больше свойств. Анализируем, рассуждаем, не забывая записывать результаты в части круга (диаграммы). Записываем ответ.