Задача 1 а). Вставьте пропущенные цифры так, чтобы число делилось на 44 Для решения подобных задач повторим признаки делимости

Признаки делимости Число делится на 2, если однозначное число делится на 2 Число делится на 8, если трехзначное число делится на 8 Число делится на 8, если трехзначное число делится на 8 Число делится на 4, если двузначное число делится на 4 Число делится на 4, если двузначное число делится на 4

Признаки делимости Число делится на 5, если однозначное число делится на 5 Число делится на 3 (на 9), если сумма делится на 3(на 9) Число делится на 10, если

Признаки делимости Число делится на 11, если знакопеременная сумма делится на 11

Признаки делимости Число делится на 7, если разность делится на 7 Число делится на 7, если разность делится на 7

Признаки делимости Число делится на 13, если сумма делится на 13 Число делится на 13, если сумма делится на 13

Задача 1 (проодолжение) а). Вставьте пропущенные цифры так, чтобы число делилось на 44. делилось на б). Вставьте пропущенные цифры так, чтобы число

Задача1. в). Вставьте пропущенные цифры так, чтобы число делилось на

Задача 2 а). Некто вынимает из ящика сколь угодно много карточек с цифрами 2, 3, 7, 8. Сможет ли он составить из этих цифр число, которое является квадратом натурального числа? Если сможет, то укажите это число. Некто вынимает из ящика сколь угодно много карточек с цифрами 2, 3, 7, 8. Сможет ли он составить из этих цифр число, которое является квадратом натурального числа? Если сможет, то укажите это число. Для решения подобных задач выясним, какой цифрой может оканчиваться квадрат целого числа.

nn2n Квадраты натуральных чисел могут оканчиваться только на… Квадраты натуральных чисел не могут оканчиваться на…

Задача 2а) (ответ). Составить из этих цифр 2, 3, 7, 8 число, которое является квадратом натурального числа, невозможно, т.к. ни один квадрат не оканчивается на предложенные цифры.

Задача 2 б). б). Можно ли составить из цифр 0, 2, 3, 5 число, которое является квадратом натурального числа? Если «да», то найдите это число. 52 Квадрат не может оканчиваться на один 0, на 2 и на 3 Если квадрат оканчивается на 5, он оканчивается на 25 3 Число не может начинаться с 0 0 Произведение двух последовательных натуральных чисел

Задача 3. На какую цифру оканчивается число ? Для решения подобных задач выясним, какой цифрой может оканчиваться натуральная степень числа 2.

2 n оканчивается на… n2n Оканчивается на… … … … … …6 …… Повторение окончаний - через 4 степени

Задача 3 (решение). На какую цифру оканчивается число ? = =… =2 2010*3 = = =… =…2+ …4=…6

Задача 4. Может ли число вида 4 n +9 n являться квадратом натурального числа при каком- нибудь натуральном n? 9n9n Оканчивается на… … … …1 4n4n Оканчивается на… … …4… n +9 n Оканчивается на… n=2k-1…3 n=2k…7…7 Квадрат не может оканчиваться на 3 или на 7 Для решения подобных задач выясним, какими цифрами могут оканчиваться натуральные степени чисел 4 и 9. Ответ. Не может

Задача 5. Найти две последние цифры числа ? Для решения подобных задач выясним, какими двумя цифрами может оканчиваться натуральная степень числа 3.

Таблица двузначных окончаний n- ых степеней тройки n n3n … 43 … 29 … 87 … 61 … 83 … 49 n n3n … 47 … 41 … 23 … 69 … 07 … 21 … 63 … 89 … 67 … 01 … 03 … Повторение окончаний - через 20 степеней

Задача 5 (решение). Найти две последние цифры числа = n11 3n3n …47 =…47

Задача 6. Может ли число при каком-нибудь натуральном n оканчиваться на 9 ? Может ли число при каком-нибудь натуральном n оканчиваться на 9 ? Вычислим n и n+1 - два последовательных числа

n(n+1) оканчивается на… n(n+1) Оканчивается на… 1·22 2·36 3·4…2…2 5·6…0…0 6·76·7…2 7·87·8…6 8·98·9…2 9·10…0 ……

Вычислим. n и n+1 - два последовательных числа и их произведение может оканчиваться только на 0, 2 или 6, Задача 6. Может ли число при каком-нибудь натуральном n оканчиваться на 9 ? Может ли число при каком-нибудь натуральном n оканчиваться на 9 ? а половина произведения - на 0, 1, 3, 6, 8. Ответ. Не может

С точки зрения делимости на 3 числа бывают трех видов: 2n 2n+1 четныенечетные С точки зрения делимости на 2 числа бывают двух видов: 3n3n 3n3n 3n+1 3n+2

Задача 7. Докажите, что Пусть Т.о., доказано, что

Задача 7 (продолжение). Докажите, что Пусть Т.о., доказано, что Пусть

Задача 7(продолжение). Докажите, что Имеем: и Следовательно,

Имеет ли график функции точки с целочисленными координатами? Имеет ли график функции точки с целочисленными координатами? Задача 8. Выразим из формулы Рассмотрим квадраты этих чисел: : 3n3n 3n3n 3n+1 3n+2 Т.к. x – целое, то с точки зрения делимости на 3 x может принимать значения вида Т.о., мы не получили вида

Сумма цифр натурального числа равна Может ли это число быть точным квадратом? Сумма цифр натурального числа равна Может ли это число быть точным квадратом? Задача не кратно 3. Очевидно, данное число не кратно 3. 3n+1 3n+2 Тогда, с точки зрения делимости на 3 оно может принимать значения вида В задаче 8 было доказано, что, если число является квадратом, то оно не может иметь вид : 3n+1 3n+2 Единственный вариант:

Сумма цифр натурального числа равна Может ли это число быть точным квадратом? Сумма цифр натурального числа равна Может ли это число быть точным квадратом? Задача 9. 3n+1 Рассмотрим число Если уменьшить последнюю цифру числа 3n+1 на 1, то получится число вида 3n, а сумма его цифр станет =2008, но тогда число кратно 3, а сумма цифр не кратна 3. Если увеличить последнюю цифру на 1, то получим число вида 3n+2, а сумма его цифр станет = 2010, т.е. само число, не кратно 3, а сумма его цифр кратна 3. Следовательно, вариант невозможен 3n+1 Т.о, данное число не может быть полным квадратом

С точки зрения делимости на 5 числа бывают пяти видов: 4n4n 4n4n 4n+14n+1 4n+14n+1 С точки зрения делимости на 4 числа бывают четырех видов: 5n5n 5n5n 5n+1 5n+3 4n+2 4n+3 5n+2 5n+4

(4n) 2 Исследовать вид квадратов: (4n+1) 2 (4n+2) 2 (4n+3) 2 (5n) 2 (5n+1) 2 (5n+2) 2 (5n+3) 2 (5n+4) 2 (6n) 2 (6n+5) 2 … … (7n) 2 (8n) 2 … … … … (7n+6) 2 (8n+7) 2 На основе исследования составить таблицу «Квадрат натурального числа не может иметь вид…»

Квадрат натурального числа не может иметь вид: 3k+24k+25k+26k+27k+38k+2 … 4k+35k+36k+57k+58k+3 … 7k+68k+5 … 8k+6 … 8k+7 …

Может ли дискриминант квадратного уравнения с целочисленными коэффициентами быть равен 14? Может ли дискриминант квадратного уравнения с целочисленными коэффициентами быть равен 14? Задача 10. Рассмотрим квадратное уравнение По условию b 2 -4ac=14 b 2 = 4(ac+3)+2 ax 2 +bx+c=0 Т.о, дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами не может быть равен 14. {a;b;c} с Z Но квадрат целого числа не может быть равен 4k+2.

Доказать, что при любом натуральном n число 3(n 2 +n)+7 не может быть кубом натурального числа. Доказать, что при любом натуральном n число 3(n 2 +n)+7 не может быть кубом натурального числа. Задача 11. (4n) 3 (4n+1) 3 (4n+2) 3 (4n+3) 3 (5n) 3 (6n+5) 3 … … … … (9n) 2 … … … … … … (9n+8) 2 (3n) 3 (3n+1) 3 (3n+2) 3 (2n) 3 (2n+1) 3 Исследуем вид кубов натуральных чисел. Исследуем вид кубов натуральных чисел.

Куб натурального числа не может иметь вид: 4k+27k+28k+29k+2… 7k+37k+38k+49k+3… 7k+48k+69k+4… 7k+59k+5 9k+6 9k+7

Доказать, что при любом натуральном n число 3(n 2 +n)+7 не может быть кубом натурального числа. Доказать, что при любом натуральном n число 3(n 2 +n)+7 не может быть кубом натурального числа. Задача 11. Рассмотрим классы натуральных значений n c точки зрения делимости на 9. Пусть n=9k => 3n(n+1)+7= Преобразуем 3(n 2 +n)+7=3n(n+1)+7 3·9k(9k+1)+7=81k 2 +27k+7=9m+7, что не может быть кубом натурального числа Пусть n=9k+1 => 3n(n+1)+7=… Пусть n=9k+2 и т.д. Всякий раз будут получаться виды чисел, которые не могут быть кубами натурального числа

Свойства простых делителей. Пусть n – натуральное, p - простое 1. Если n 2 ··· p, то n 2 p 2 ··· 2. Если n 3 ··· p, то n 3 p 3 ··· Можно ли составить точный квадрат из 30 единиц и произвольного числа нулей? Можно ли составить точный квадрат из 30 единиц и произвольного числа нулей? Очевидно, сумма цифр числа равна 30, что кратно 3. Следовательно, число кратно 3, но не кратно 9. Задача 12. А по св-ву простых делителей квадрата, если квадрат кратен простому числу 3, то он кратен его квадрату, т.е., 9. Противоречие.

Доказать, что число не является натуральным 2011 раз Доказать, что число не является натуральным 2011 раз Задача 13. Чтобы данное число являлось натуральным необходимо, чтобы подкоренное выражение было точным квадратом А по св-ву простых делителей квадрата, если квадрат кратен простому числу 3, то он кратен его квадрату, т.е., 9. Противоречие. Очевидно, сумма цифр подкоренного выражения равна 3·2011+9=6042, что кратно 3, но не кратно 9.