ДЕЛЕНИЕ ВО МНОЖЕСТВЕ МНОГОЧЛЕНОВ Автор: Гордина Наталья, учащаяся 10 класса Муниципального общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа 3» города Ртищево Руководитель: учитель математики Алексашина Галина Михайловна

ЧТО ТАКОЕ МНОГОЧЛЕН? Многочленом с переменной х (или от переменной х ), называют сумму степеней переменной х с натуральным показателем, с некоторыми коэффициентами, то есть: P(x) =a 0 x п +a 1 x п-1 +…+a п-1 x+a п, где а 0, а 1, …, а п-1, а п – некоторые числа, причем а 0 0, n – натуральное число. Р п (х) – обозначение многочлена степень которого равна п.

Многочлен Р (х) делится на многочлен Q (х)0, если Р(х)=Q(x)M(x), где М (х) – некоторый многочлен.

Свойства делимости многочленов «столбиком»:

1 свойство: Если многочлен P n (x) делится на многочлен Q k (x), а многочлен Q k (x) делится на многочлен M m (x), то многочлен P n (x) делится на многочлен M m (x).

2 свойство: Если многочлены Р n (х) и Q n (x) делятся на многочлен M k (x), то многочлены Р n (х)+Q n (x) и Р n (х) - Q n (x) делятся на многочлен M k (x), а многочлен Р n (х)· Q n (x) делится на многочлен M 2 k (x).

3 свойство: Если P(x) делится на Q(x), то всякий корень Q(x) является корнем P(x). Действительно если P(x) = Q(x)·M(x) и Q(с)=0, то P(с)=Q(с) M(с)=0.

Алгоритм деления многочленов «столбиком» 1.Расположить делимое и делитель в убывающих степенях х ; 2.Разделить старший член делимого на старший член делителя; затем полученный одночлен сделать первым членом частного; 3.Первый член частного умножить на делитель, результат вычесть из делимого; полученная в результате разница является первым остатком; 4.Чтобы получить следующий член частного, нужно с первым остатком поступить так, как поступали с делимым и делителем в пунктах 2 и 3. 5.Это следует продолжать до тех пор, пока не будет получен остаток, равный нулю или остаток, степень которого меньше степени делителя.

Разделить уголком многочлен P(x) = 10х 2 -7х-12 на многочлен Q(x)=5х+4.Решение. делимое _ 10 х 2 -7 х х +4 делитель 10 х2 +8 х 2 х- 3 частное первый остаток _ -15 х х остаток Ответ: Ответ: 2х-3.

Разделить многочлен P(x) = 3х 4 +2х 2 -1 на многочлен Q(x)=х 2 +х.Решение. _3 х 4 +2 х 2 -1 х 2 +х 3 х 4 +3 х 2 3 х 2 -3 х +5 _-3 х 3 +2 х х 3 -3 х 2 _5 х х 2 +5 х - 5 х -1 Ответ: Ответ: частное 3 х 2 -3 х +5, остаток- 5 х -1.

Задача 2 п п +13 При каких натуральных значениях п выражение п-3 является целым числом?Решение. Разделим числитель дроби на знаменатель с остатком: _2 п2 -11 п +13 п -3 2 п2 -6 п 2 п -5 _-5 п п Таким образом, исходное выражение равно 2 п -5-, что п -3 является целым числом тогда и только тогда, когда 2 нацело делится на п -3. поскольку целыми делителями числа 2 являются числа -2, -1, 1, 2 и только они, получаем п =1, 2, 4, 5. Ответ: Ответ: п =1, 2, 4, 5.

Степень частного равна разности степеней делимого и делителя, а степень остатка всегда меньше степени делителя.

Алгоритм вычислений по схеме Горнера:

1 шаг. Под первым коэффициентом делимого а 0 пишется ещё раз этот коэффициент. 2 шаг. Под коэффициентом а 1 пишется число b 1 =a 0 b+a 1.

3 шаг. Под коэффициентом а 2 пишется число b 2 = b 1 b+а 2. 4 шаг. Под коэффициентом а 3 пишется число b 3 = b 2 b+а 3 ; b 3 =R – остаток.

Для любого многочлена Р(х)=а 0 х п +а 1 х п-1 +…+а п-1 х+а п и любого числа с можно написать разложение Р(х) по степеням разности х-с : Р(х)= b 0 (x-c) п +b 1 (x-c) п-1 +…+b п-1 (x- -c)+b п.

Разложить многочлен Р(х) = х 4 -5 х 3 -3 х 2 +9 по степеням разности х -3. Решение. Выполним деление по схеме Горнера: Таким образом, Р(х) =( х -3) 4 +7( х -3) 3 +6( х -3) 2 -45( х -3)

Теорема Безу

Определение. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-а равен значению этого многочлена при х=а : Р(а)=R.

Следствие 1. Если х=а – корень уравнения Р п (х) =0, то R =0 и многочлен Р п (х) делится нацело на двучлен х-а. Следствие 2. Если многочлен Р п (х) делится нацело на двучлен х-а, то х = а – корень уравнения Р п (х) =0.

Задача Выяснить, делится ли нацело многочлен Р (х) = х х 79 + х 48 - х 27 на х +1. Решение. Остаток от деления Р (х) на х +1 равен Р (-1)=(-1) ·(-1) 79 +(-1) 48 -(-1) 27 = =0. Ответ: многочлен Р (х) нацело делится на х +1

Список используемой литературы Гусев В.А., Мордкович А.Г. Мат.: Справочные материалы: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1988 – 416с.:ил. Дорофеев Г.Д. «Многочлены с одной переменной». / Журнал математика для школьников. – 2005год. – 3 Колягин Ю. «Многочлены и уравнения высших степеней». / Учебно-методическая газета «Математика» – 2005год – 2 Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений / С.М.Никольских, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевпин. – М.: Просвещение, 2006год Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7- 9класс средней школы / Составитель И.Л.Никольская. – М.: Просвещение, 1991год Энциклопедический словарь юного математика: сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1985 – 352с.:ил.