3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г. Лекция 4. Непрерывность функции 4-1 Понятие непрерывности функции 4-2 Свойства функций, непрерывных на отрезке 4-3 Точки разрыва

2 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Эпиграф Я знаю, что это такое, только до той поры, пока меня не спросят – что это такое! Блаженный Августин

3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г Понятие непрерывности функции Определение на языке пределов Определение на языке приращений Непрерывность на промежутке

4 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Интуитивное определение непрерывности Если линию можно построить, не отрывая карандаша от бумаги, эта линия непрерывна. Наше интуитивное представление о непрерывности следует подкрепить точными математическими определениями. Существует два определения непрерывности функции: на языке пределов и на языке приращений. Мы рассмотрим их, а затем убедимся в их эквивалентности.

5 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Определение непрерывности Функция f (x) называется непрерывной в точке a, если: 1) функция f (x) определена в точке a, 2) имеет конечный предел при x a, 3) этот предел равен значению функции в этой точке:

6 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Примеры Непрерывная функцияНе непрерывная функция (разрывная) x y 2 4 a b

7 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Второе определение непрерывности Функция f (x) называется непрерывной в точке a, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: x a 0 y a+ x y=f ( x ) f (a) f (a+ x) y x Приращение функции: y = f (a+ x) – f (a) Определение означает, что при x 0 y 0

8 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Доказательство эквивалентности Докажем равносильность двух определений непрерывности. 1 2

9 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Непрерывность на промежутке Функция f (x) называется непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Утверждение. Все элементарные функции непрерывны в области их определения.

10 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Непрерывность функции x 2 Используем для доказательства непрерывности определение 2. Получили, что функция x 2 непрерывна. Задание. Докажите непрерывность функции sin x.

3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г Свойства функций, непрерывных на отрезке Определение Первая теорема Вейерштрасса Вторая теорема Вейерштрасса Теорема Больцано-Коши

12 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Ограниченная функция (bounded function) Функция называется ограниченной на отрезке [ a, b ], если существует число M такое, что для всех x [ a, b ] выполняется неравенство: | f (x) | M.

13 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм ( ) – немецкий математик. Начал свою деятельность в качестве учителя средней школы. С 1856 года профессор Берлинского университета. Вейерштрасс дал строгое доказательство основных свойств функций, непрерывных на отрезке, построил пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке и получил ряд других результатов.

14 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Две теоремы Вейерштрасса Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она ограничена на этом отрезке. Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M.

15 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Больцано Бернард Больцано Бернард (1781–1848) – чешский математик, философ, теолог. Занимал кафедру истории религии в Пражском университете. В 1820 году был уволен за вольнодумство и лишен права публичных выступлений, после чего работал, в основном, в области логики и математики.

16 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Теорема Больцано-Коши Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и значения на концах этого отрезка f (a) и f (b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка c ( a, b) такая, что f (c) = 0. 0 x y a bc f (x) f (a) < 0 f (b) > 0 f (c) = 0

3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г Точки разрыва Правосторонние и левосторонние пределы Разрыв I рода Разрыв II рода

18 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Левосторонний предел Если функция f (x) стремится к числу A 1 по мере стремления x к a со стороны меньших значений, то A 1 называют левосторонним пределом функции в точке x = a и пишут: x y A2A2 a A1A1

19 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Правосторонний предел Если функция f (x) стремится к числу A 2 по мере стремления x к a со стороны больших значений, то A 2 называют правосторонним пределом функции в точке x = a и пишут: x y A2A2 a A1A1

20 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Точка разрыва (break point) Рассмотрим функцию f (x), определенную на промежутке X, кроме, может быть, точки a X. Точка a называется точкой разрыва функции f (x), если в ней функция определена, но не является непрерывной, или не определена в этой точке.

21 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Разрыв I рода Разрыв I рода, если в точке a существуют конечные пределы: Разность A 2 –A 1 называют скачком. x y A2A2 a A1A1 Скачок

22 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Разрыв II рода Разрыв II рода, если в точке a хотя бы один из пределов не существует или бесконечен.

23 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Задача Определить характер разрывов функции:

24 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Решение Эта функция непрерывна всюду, кроме точки x = 2. Вычислим предел слева и предел справа: Это разрыв скачком.

3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г. Приложение Отрывок из «Войны и мир»

26 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Непрерывность движения Том третий ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ I Для человеческого ума непонятна абсолютная непрерывность движения. Человеку становятся понятны законы какого бы то ни было движения только тогда, когда он рассматривает произвольно взятые единицы этого движения. Но вместе с тем из этого-то произвольного деления непрерывного движения на прерывные единицы проистекает большая часть человеческих заблуждений. Известен так называемый софизм древних, состоящий в том, что Ахиллес никогда не догонит впереди идущую черепаху, несмотря на то, что Ахиллес идет в десять раз скорее черепахи: как только Ахиллес пройдет пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдет впереди его одну десятую этого пространства; Ахиллес пройдет эту десятую, черепаха пройдет одну сотую и т. д. до бесконечности. Задача эта представлялась древним неразрешимою. Бессмысленность решения (что Ахиллес никогда не догонит черепаху) вытекала из того только, что произвольно были допущены прерывные единицы движения, тогда как движение и Ахиллеса и черепахи совершалось непрерывно. Л. Н. Толстой «Война и мир»

27 Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005 Непрерывность движения Принимая все более и более мелкие единицы движения, мы только приближаемся к решению вопроса, но никогда не достигаем его. Только допустив бесконечно-малую величину и восходящую от нее прогрессию до одной десятой и взяв сумму этой геометрической прогрессии, мы достигаем решения вопроса. Новая отрасль математики, достигнув искусства обращаться с бесконечно-малыми величинами, и в других более сложных вопросах движения дает теперь ответы на вопросы, казавшиеся неразрешимыми. Эта новая, неизвестная древним, отрасль математики, при рассмотрении вопросов движения, допуская бесконечно-малые величины, то есть такие, при которых восстановляется главное условие движения (абсолютная непрерывность), тем самым исправляет ту неизбежную ошибку, которую ум человеческий не может не делать, рассматривая вместо непрерывного движения отдельные единицы движения. В отыскании законов исторического движения происходит совершенно то же. Л. Н. Толстой «Война и мир» Продолжение следует …