Выполнила: Хисяметдинова Екатерина Ученица МОУ «Рыновская СОШ»

1)d

2) d=r. В этом случае ОН =r, т.е. точка Н лежит на окружности и, значит, является общей точкой прямой и окружности. Прямая р и окружность не имеют других общих точек, так как для любой точки М прямой р, отличной от точки Н, ОМ > OH=r, и, следовательно, точка М не лежит на окружности. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

1)d > r. В этом случае ОН > r, поэтому для любой точки М прямой р ОМ>ОН >r. Следовательно, точка М не лежит на окружности. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть р – касательная к окружности с центром О, А- точка касания. Докажем, что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА. Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию: прямая р – касательная. Таким образом, прямая р перпендикулярна к радиусу ОА. Теорема доказана.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках В и С. Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных, проведенными из точки А. Они обладают следующим свойством, вытекающим из доказанной теоремы:

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикуляра к этому радиусу, то она является касательной

Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает. Что данная прямая является касательной к окружности.

На этой теореме основано решение задач на построение касательной. Решим одну из таких задач. Через данную точку А окружности с центром О провести касательную к этой окружности.

Проведем прямую ОА, а затем построим прямую Р, проходящую через точку А перпендикулярно к прямой ОА. по признаку касательной прямая Р является искомой касательной.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом. Пусть стороны центрального угла окружности с центром О пересекают ее в точках А и В. Центральному углу АОВ соответствуют две дуги с концами А и В. Если угол АОВ развернутый, то ему соответствуют две полуокружности. Если АОВ неразвернутый, то говорят, что дуга АВ, расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности.

Дугу окружности можно измерять в градусах. Если дуга АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ. Если же дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360 – АОВ. Отсюда следует, что сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Пусть угол АВС – вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС. Докажем, что АВС = ½ АС. Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС. 1) Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например со стороной ВС. В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому АОС = АС. Так как угол АОС – внешний угол равнобедренного треугольника АВО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то /_ АОС = /_ 1 + /_ 2 = 2 /_ 1. Отсюда следует, что 2 /_ 1 = АС или /_ АВС = /_ 1 = ½ АС.

2) Луч ВО делит угол АВС на два угла. В этом случае луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке DТочкаD разделяет дугу АС на две дуги: AD и DC. По доказанному в п.1 АВD = ½ AD и DBC1/2 DC. Складывая эти равенства попарно, получаем: АВD + DВС = ½ AD + ½ DC, или АВС = ½ АС.

3) Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой. Используя следствие 1, докажем теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Пусть хорды АВ и СD пересекаются в точке Е. Докажем, что АЕ * ВЕ = СЕ * DE. Рассмотрим треугольники АDE и СВЕ. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВD, а углы 3 и 4 равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников ADE~CBE. Отсюда следует, что AE/CE = DE/BE, или АЕ * ВЕ = СЕ * DE. Теорема доказана