Геометрия и её загадки. Фракталы. Авторы: Кухтина Светлана и Мегеря Виктория. Руководитель: Стрижак Раиса Ивановна. МОУСОШ 3 (Коммунистичес - кая,11) 8класс Г.Карасук

Цели. Выяснить, что такое фракталы. Выяснить, что такое фракталы. История возникновения фракталов. История возникновения фракталов. Выяснить существуют ли в природе фракталы? Выяснить существуют ли в природе фракталы? Познакомиться с видами фракталов. Познакомиться с видами фракталов.

Задачи. Узнать, что такое фрактал. Узнать, что такое фрактал. Изучить историю фракталов. Изучить историю фракталов. Возникновение и развитие фракталов в геометрии. Возникновение и развитие фракталов в геометрии. Исследовать : какие виды фракталов существуют. Исследовать : какие виды фракталов существуют. Исследовать область применения фракталов. Исследовать область применения фракталов.

Гипотеза. Подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам ? Иными словами«Можно ли проверить алгеброй гармонию?»-как сказал А.С.Пушкин. Подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам ? Иными словами«Можно ли проверить алгеброй гармонию?»-как сказал А.С.Пушкин.

Что такое фрактал? Фрактал(лат.fractus- дробный, разбитый)- термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия. Термин «Фрактал» был введён Б.Мандельбротом в 1975 году. Фрактал(лат.fractus- дробный, разбитый)- термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия. Термин «Фрактал» был введён Б.Мандельбротом в 1975 году.

Бенуа Мандельброт. Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году. После войны Мандельброт стал студентом Сорбонны. Окончив университет, Мандельброт сначала стал «чистым математиком». Бенуа Мандельброт занимался самыми разнообразными задачами, основатель и ведущий в области фрактальной геометрии. Сегодня Бенуа Мандельброт – профессор Йельского университета, член американской Академии искусств и наук и Национальной академии наук США. Его последняя важная награда – премия Вольфа по физике. Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году. После войны Мандельброт стал студентом Сорбонны. Окончив университет, Мандельброт сначала стал «чистым математиком». Бенуа Мандельброт занимался самыми разнообразными задачами, основатель и ведущий в области фрактальной геометрии. Сегодня Бенуа Мандельброт – профессор Йельского университета, член американской Академии искусств и наук и Национальной академии наук США. Его последняя важная награда – премия Вольфа по физике.

История фракталов. История началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в 19 веке. Примерами таких фракталов служат: Кривые Коха, Леви, Минковского, треугольник Серпинского, дерево Пифагора. Теоретически, можно сказать всё, что существует в реальном мире является фракталом.

Типы фракталов Геометрические фракталы Алгебраические фракталы Стохастические фракталы

Алгебраические фракталы Самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двумерные процессы.

Стохастические фракталы Образуются в случае случайной перемены в итерационном процессе параметров фрактала. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности морей, деревьев.

Геометрические фракталы. Из геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый - снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого ___ заменяется на 4 линии,каждая длиной в 1/3 исходной _/\_. Проделывая это бесконечное число раз- получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длины. Из геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый - снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого ___ заменяется на 4 линии,каждая длиной в 1/3 исходной _/\_. Проделывая это бесконечное число раз- получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длины.

Снежинка Коха. Снежинка Коха является родственницей целого класса фигур, которые получили название фракталы. Основной фигурой является равнобедренный треугольник. Снежинка Коха является родственницей целого класса фигур, которые получили название фракталы. Основной фигурой является равнобедренный треугольник.

Треугольник Серпинского Для построения из центра равностороннего треугольника "вырежем" треугольник. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием. Для построения из центра равностороннего треугольника "вырежем" треугольник. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием.

Фракталы в природе Всё живое формируется под влиянием окружающей среды и является её частью. Это одно из проявления закона фрактальности как закона единства. Следуя этому принципу единости: части и целое подобны друг другу. Всё живое формируется под влиянием окружающей среды и является её частью. Это одно из проявления закона фрактальности как закона единства. Следуя этому принципу единости: части и целое подобны друг другу.

Молнии ужасают и пугают и одновременно восхищают своей красотой. Фракталы созданные молнией не произвольны и не регулярны

Морские раковины Nautilus является одним из наиболее известных примеров фрактала в природе. Прекрасная иллюстрация последовательности Фибоначчи

Романессу Это особый вид брокколи, крестоцветный и вкусный двоюродный брат капусты - является особенно симметричным фракталом

Брокколи Хотя броколли не так лихо геометрична как романессу, но тоже фрактальна.

Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения. Как, например, это восхитительное растение.

Кристаллы Лёд, морозные узоры на окнах - это тоже фракталы

Деревья и листья От увеличенного изображения листочка, до ветвей дерева - во всём можно обнаружить фракталы

Применение фракталов. Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как: деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей, облака и т.д. Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как: деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей, облака и т.д.

Применение Фракталов. Фрактальное дерево Фрактальное дерево Геометрические фракталы применяются для получения изображений (Механика жидкостей) Геометрические фракталы применяются для получения изображений (Механика жидкостей) Фракталами хорошо описываются следующие процессы, относящиеся к механике жидкостей и газов: Фракталами хорошо описываются следующие процессы, относящиеся к механике жидкостей и газов: Динамика и турбулентность сложных потоков; Динамика и турбулентность сложных потоков; турбулентность Моделирование пламени; Моделирование пламени;пламени изучение пористых материалов, в том числе в нефтехимии изучение пористых материалов, в том числе в нефтехимии нефтехимии

Фракталы и искусство. Именно алгоритмом Мандельброта пользуется природа, создавая свои шедевры – фракталы золотого сечения – от листа травы до биологической популяции. Поэтому не удивительно, что фракталы поразительно красивы. Своей красотой и разнообразием форм они поразили не только математиков. Именно алгоритмом Мандельброта пользуется природа, создавая свои шедевры – фракталы золотого сечения – от листа травы до биологической популяции. Поэтому не удивительно, что фракталы поразительно красивы. Своей красотой и разнообразием форм они поразили не только математиков.

Галерея фракталов

Применение компьютерной графики применяется в дизайнерском искусстве

Чем актуальны фракталы? Во-первых, они очень велики, часто многогранны, многообразны и сложны. Во-вторых, они формируются под действием небольшого количества простых закономерностей, подчиняясь простым законам природы

Выводы. Фракталы окружают людей в их повседневной жизни постоянно. Фракталы окружают людей в их повседневной жизни постоянно. Фрактальная геометрия помогает людям во многих областях науки. Фрактальная геометрия помогает людям во многих областях науки. Гармония есть и в недрах Гармония есть и в недрах скал, и в пении ветров – скал, и в пении ветров – причем везде она одна причем везде она одна и та же. и та же.

Подтвердилась ли наша гипотеза? Да, действительно наша гипотеза подтвердилась. Мы убедились в том, что всё живое формируется под влиянием окружающей среды и является её частью, подчиняясь законам природы

Литература. Третьяков Ю.Д. «Фракталы и Материалы». Соросовский образовательный журнал.1998г,11. Третьяков Ю.Д. «Фракталы и Материалы». Соросовский образовательный журнал.1998г,11. Федер Е.М. «Фракталы».-М.: Мир,1991г. Федер Е.М. «Фракталы».-М.: Мир,1991г. Пайтген Х.О., Рихтер Н.Х. Красота фракталов. М.1993г Пайтген Х.О., Рихтер Н.Х. Красота фракталов. М.1993г