Решение квадратных уравнений алгебра 8 класс Еремеева Ольга Михайловна Автор: Еремеева Ольга Михайловна, учитель математики высшей категории МОУ «Чукальская основная общеобразовательная школа» 2010 год

рекомендации к уроку по теме Решение квадратных уравнений. Формой проведения занятия является дидактическая игра Играют две команды – «Крестики» и «Нолики» Игра начинается с конкурса «Вспомни» Команда, справившаяся с заданием первой, обосновывает свое решение и выбирает следующую задачу После решения задачи в турнирной таблице проставляется код («+» или «0») команды, решившей задачу Выигрывает команда, закрывшая своим кодом большее число клеток таблицы

Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять. Р.Декарт Мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать неправильные выводы должен уметь всякий: физик и поэт, тракторист и химик. Э. Кольман х0 х х х 0 0 х0 х х х 0 0 х0 х х х 0 0 «Крестики – нолики» дидактическая игра

Турнирная таблица Хитрый параметр Хитрый параметр SOS Компьютерный тест Компьютерный тест Черный ящик Письмо из прошлого Письмо из прошлого Задача для Задача для Барона Мюнхгаузена Барона Мюнхгаузена Вспомни

ВСПОМНИ… конкурс ВСПОМНИ… 1. Чем определяется наличие и количество корней квадратного уравнения? Как вычислить дискриминант квадратного уравнения D = D = 2. Назовите формулы корней квадратного уравнения D>0, то х 1,2 = D=0, то х =

КРЕСТИКИ НУЛИКИ ВСПОМНИ… конкурс ВСПОМНИ… t² - 2t – 3 = 0 x² - 5x + 4 = 0 3. Сколько корней имеет квадратное уравнение? D= 16 >0, два корня D=9 >0, два корня 4.Чему равно произведение корней? Х 1 х 2 = Чему равна сумма корней уравнения? Х 1 + х 2 = 2 6. Что можно сказать о знаках корней? Корни разных знаков, положительный корень по модулю больше 7. Найдите корни подбором. Х 1 = 3, х 2 = -1 Оба корня положительные х 1 х 2 = 4 х 1 + х 2 = 5 Х 1 = 4, х 2 = 1 назад Корни одного знака

конкурс «Хитрый параметр» παραμετρέω ПАРАМЕТР ( от греч. παραμετρέω - меряю, cопоставляя). 1. Величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи…, (мат.) При каком значении параметра m уравнение 2х² + 2тх – т – 0,5 = 0 имеет единственный корень? Найдите этот корень. Толковый словарь Ушакова назад

В домашнем задании ученикам 8 класса было предложено уравнение (х² - 5х +7)² - 2(х² - 5х +7) - 3 = 0 Подумав, Витя Верхоглядкин рассудил так: сначала нужно раскрыть скобки, потом привести подобные слагаемые. есть более Но Степа Смекалкин сказал, что есть более простой способ решения и раскрывать скобки вовсе необязательно. Помогите Вите решить уравнение и найти рациональный путь решения назад SOS конкурс SOS SOS…

100 м «Задачка для Мюнхгаузена» конкурс «Задачка для Мюнхгаузена» В одной из своих охотничьих баек Барон Мюнхгаузен похвастался, что закинул пушечное ядро на Луну… В одной из своих охотничьих баек Барон Мюнхгаузен похвастался, что закинул пушечное ядро на Луну… Сможет ли Мюнхгаузен перебросить камень через кирпичную стену высотой не менее 100 м, если будет бросать его вертикально вверх со скоростью 40 м/с? Сможет ли Мюнхгаузен перебросить камень через кирпичную стену высотой не менее 100 м, если будет бросать его вертикально вверх со скоростью 40 м/с? И сколько на это потребуется времени? И сколько на это потребуется времени? назад Тело, брошенное вверх поднимется на высоту, определяемую по формуле :

Бхаскара Ачарья конкурс «Письмо из прошлого» Задачи на составление квадратных уравнений встречаются уже в древнеегипетских математических папирусах. Общее правило решения уравнений вида: ax² + bx = c, где a > 0, b и c – любые, сформулировал Брахмагупта (VII в. н. э.). Брахмагупта еще не знал, что квадратное уравнение может иметь и отрицательный корень. Бхаскара Ачарья (XII в.) сформулировал, соотношения между коэффициентами уравнения. Составил много задач.

«Бхаскары» задача «Бхаскары» Обезьянок резвых стая, Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А двенадцать по лианам… Стали прыгать повисая… Сколько ж было обезьянок, Вы скажите в этой стае? назад

«Черный ящик» конкурс «Черный ящик» В «Черном ящике» находится только одно число, которое является произведением всех корней уравнения: (2009х² х +1) (х² х )=0 Какое число спряталось в черном ящике? назад

« ? » (подумай) конкурс « ? » (подумай) Обоснуйте или опровергните следующее утверждение: Решая приведенное квадратное уравнение, Витя Верхоглядкин нашел 2 корня. Оба корня положительные. Степа Смекалкин задал Вите только один вопрос, после которого сказал, что Витя ошибся. Возможно ли это? Если да, то какой вопрос задал Степа и какой ответ дал Витя? назад Мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать неправильные выводы должен уметь всякий: физик и поэт, тракторист и химик. Э. Кольман

« ? » (подумай) конкурс « ? » (подумай) Только взглянув на уравнение вида ах² + с = 0, Степа Смекалкин сразу же выдал ответ: корней нет. Мог ли он сделать такой вывод не решая уравнения? Обоснуйте ответ., уравнение будет иметь корни только тогда, когда Степа мог сделать вывод, что уравнение не имеет корней если с и а имеют одинаковые знаки назад

« ? » (подумай) конкурс « ? » (подумай) Витя Верхоглядкин утверждает, что если в квадратном уравнении ах² + bх + с = 0 числа а и с имеют разные знаки, то уравнение точно имеет корни. Согласны ли вы с Витей? Почему? а и с имеют разные знаки, тогда а с < 0 Значит, - 4 а с > 0 Тогда D= b² - 4ac > 0, и, следовательно, уравнение имеет 2 корня назад Доказательство - это рассуждение, которое убеждает. Ю.А. Шиханович

«Крестики – нолики» «Крестики – нолики» дидактическая игра Хитрый параметр Хитрый параметр Компьютерный тест Компьютерный тест Черный ящик Черный ящик Письмо из прошлого Письмо из прошлого назад SOS Задача для Барона Мюнхгаузена Барона Мюнхгаузена

При каком значении параметра т уравнение 2х² + 2тх – т – 0,5 = 0 имеет единственный корень? Найдите этот корень. РЕШЕНИЕ: Квадратное уравнение имеет один корень D=0 D= b² - 4ac; a=2, b=2m, c= - m – 0,5 D= (2m) ² (- m – 0,5) = 4m² + 8m +4 D=0, 4m² + 8m +4 = 0 m² + 2m +1 = 0 (m + 1)² = 0 m= - 1 Подставим найденное значение m в исходное уравнение: 2х² - 2х + 1 – 0,5 = 0 4х² - 4х + 1 = 0 (2х – 1) ² =0 2х -1 =0 х = 0,5 назад

Витя решил приведенное уравнение и нашел два положительных корня РЕШЕНИЕ: Приведенное квадратное уравнение имеет вид х ² + pх +q = 0 Если х 1 и х 2 корни уравнения, то по теореме Виета х 1 х 2 = q, x 1 + x 2 = -p, так как х 1 > 0 и х 2 > 0, то Х 1 х 2 = q > 0, и х 1 + х 2 = -p > 0, значит, в уравнении Вити q > 0 и p < 0. Степа мог указать на ошибку Вити, задав один из вопросов: 1. 1.Какой знак имеет коэффициент q? (ответ Вити: q со знаком минус) 2. Какой знак имеет коэффициент р? (ответ Вити: р положительное) назад

РЕШЕНИЕ: 1. 1.Произведение чисел равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, поэтому: 2009х² х +1 = 0 или х² х = х² х +1 = 0 или х² х = 0 2. Оба уравнения имеют по два корня, т.к. D= 2010² > 0, значит всего уравнение имеет четыре корня По теореме Виета, если уравнение имеет корни х 1 и х 2, то 4. 4.Тогда: и 5. 5.Значит, (2009х² х +1) (х² х )=0 Чему равно произведение всех корней уравнения: (2009х² х +1) (х² х )=0 назад По праву достойна в стихах быть воспета о свойствах корней теорема Виета.

РЕШЕНИЕ: 1. 1.Введем замену х² - 5х +7 = у, получим уравнение: у² - 2у - 3 = 0, откуда у 1 = 3, у 2 = Сделаем обратную замену: х² - 5х + 7 = 3 или х² - 5х +7 = -1 x 1 = 4, x 2 = 1 D

h = 100м, V 0 = 40м/с, g 10 м/с² 5t² - 40t +100 = 0 t² - 8t + 20 = 0 D = 64 – 80

Пусть всего обезьянок х. Тогда на поляне (х/8)² обезьянок. Так как остальные 12 обезьян были на деревьях, составим уравнение: Ответ: 48 обезьянок в стае или 16 « Задачка Бхаскары » назад