1 «Высшая математика» мультимедийный курс лекций Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Конструкторско-технологический факультет. Кафедра теоретической и прикладной математики. разработан доц.Дуниной Е.Б.

2 Литература 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. - М.: Наука, 1985 г,Том. I 2. Ильин В.А.,Позняк В.Г. Линейная алгебра.-М.:Наука,1984 г. 3. Бугров Я.С., Никольский С.М Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1988 г 4. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть I, II, III, Минск, Вышэйшая школа Под редакцией Рябушко А.П.

3 Для лучшего восприятия с помощью анимации материал на слайдах подается блоками. Для вызова каждой последующей порции информации необходимо нажать левую клавишу мыши или ЕNTER. Для более логичного изложения материала вызов необходимых формул или графиков осуществляется с помощью управляющих кнопок и гиперссылок.

4 Тема 1. Определители 1.1 Определители второго и третьего порядка. Готфрид Вильгельм фон Лейбниц Карл Густав Якоб Якоби

5 Рассмотрим систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными: Умножим первое уравнение на b2,а второе на b1 и вычтем из первого уравнения второе Получим

6 Умножим первое уравнение на а 2,а второе на а 1, отнимем из первого уравнения второе Выпишем коэффициенты при неизвестных : Можно составить два произведения «крест-накрест»

7 Определение: Определителем или детерминантом второго порядка, называется разность Определитель обычно обозначают символом Числа - называют элементами определителя

8 Пример: Согласно введенному обозначению:

9 С учётом последнего уравнения (1.3) и(1.5) можно записать в виде:

10 Определителем третьего порядка называется определитель вида: Этот способ вычисление определителя третьего порядка называется правилом Саррюса, иногда его называют правилом треугольника. Действительно, первые три слагаемых в правой части выражения (1.10) вычисляются так, как показано на рис 1.1, остальные три слагаемых вычисляются так как показано на рис. 1.2.

11 рис 1.1 рис 1.2 Пример:

Свойства определителя третьего порядка. Алгебраическое дополнение и миноры. Свойство 1. Значение определителя не изменится от замены всех его строк соответствующими по номеру столбцами и обратно: Такая операция замены в определители строк столбцами с сохранением порядка следования, называется транспонированием определителя.

13 Свойство 2. Если поменять местами два столбца(строки), то знак определителя изменится на противоположный: Доказать это свойство можно используя правило треугольника.

14 Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю: Доказательство: Переставим в данном определителе первый и второй столбец, тогда знак определителя должен измениться: Таким образом

15 Пример

16 Свойство 4. Если все элементы какой-либо строки или столбца умножить на одно и тоже число m, то значение определителя измениться в m раз. Доказательство: Действительно, умножим, например элементы первой строки на m. Так как определитель выражается в виде суммы, каждый член которой содержит множитель m, то после умножения элементов первого строки на m увеличивается в m раз и значение определителя.

17

18 Следствие 1: Если все элементы какой-либо строки или столбца содержат общий множитель, то его можно отнести за знак определителя. Пример: Следствие 2: Если все элементы какой-либо строки или столбца равны нулю, то такой определитель равен нулю: Пример:

19 Свойство 5. Определитель, у которого элементы двух столбцов или строк пропорциональны, равен нулю На основе следствия 1 множитель k содержит каждый элемент второго столбца и поэтому его можно вынести за определитель. Мы получим определитель с двумя одинаковыми столбцами. Согласно свойству 3 он равен нулю.

20 Далее элементы определителя будем обозначать буквой с двумя индексами, первый индекс- номер строки, второй индекс- номер столбца. Например, определитель третьего порядка будем записывать виде:

21 Определение: Минором определителя некоторого элемента, называется такой новый определитель, который получается из определителя вычёркиванием строки и столбца, проходящих через данный элемент. Например, минором определителя, соответствующим элементу будет

22 Определение: Алгебраическим дополнением некоторого элемента, называется соответствующий его минор, взятый со знаком + или - в зависимости от того, будет ли сумма номеров строки и столбца, которым принадлежит элемент, чётным или нечётным числом. Таким образом, Пример:

23 Свойство 6. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраическое дополнение:

24 Свойство 7. Сумма произведений элементов какого- нибудь столбца или строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца или строки равен нулю. Запись определителя такой формы получил название разложение определителя по элементам, некоторой строки или столбца

25 Свойство 8. Пусть каждый элемент какого-либо столбца или строки определителя, есть сумма двух слагаемых. Тогда определитель равен сумме двух определителей, причём в одном из них соответствующий столбец (сторока) состоит из первых слагаемых, а в другом - из вторых слагаемых.

26 Пусть

27 Доказательство: Доказать это свойство можно, если разложить определитель по первому столбцу т.е. что и требовалось доказать

28 Свойство 9. Определитель не меняет своего значения от прибавления ко всем элементам какого-либо столбца или строки соответствующих элементов другого столбца или строки, умноженных на одно и тоже число:

Применение свойств определителя для упрощенного их вычисления. Все рассмотренные свойства определителя третьего порядка имеют место и для определителя n-ого порядка. Поэтому на основании свойств вычисление определителя любого порядка можно свести к вычислению определителя третьего и второго порядка. При конкретных вычислениях довольно часто используют формулы разложения определителя по столбцу или строке. Особенно удобно использовать формулы разложения по тем строкам или столбцам, где предварительно получены нули, кроме одного элемента, в этом случаи формула разложения будет содержать только одно слагаемое.

30 Пример: Вычислить определитель четвертого порядка Вычитая из первого столбца утроенный последний столбец, будем иметь Далее естественно разложить определитель по первому столбцу. В результате получим

31 Теперь в определителе третьего порядка вычтем из второго столбца удвоенный первый

32 Раскладывая определитель третьего порядка по первой строке, окончательно получим