3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г. Лекция 2. Функции 2-1 Понятие функции и способы задания 2-2 Свойства функций 2-3 Элементарные функции 2-4 Последовательности

2 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Эпиграф Математический анализ не менее всеобъемлющ, чем сама природа. Ж.Фурье

3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г Понятие функции и способы задания Определение Четыре способа задания

4 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Постоянные и переменные величины Постоянной величиной (constant) называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Переменной величиной (variable quantity) называется величина, которая может принимать различные значения. Одна и та же величина может быть постоянной или переменной в зависимости от рассматриваемой модели и желаний исследователя. Обозначения. Постоянные (a, b, c, d) и переменные (x, y, z, u, v).

5 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Что такое функция И.Бернулли в 1718 году дал следующее определение: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Эйлер в «Дифференциальном исчислении» пишет: «Величины, зависящие от других так, что с изменением вторых меняются и первые, принято называть их функциями». Дирихле: «Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению величины x соответствует единственное определенное значение величины y.

6 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Функция (function) Правило f, которое ставит в соответствие каждому x X единственный элемент y Y, называется функцией, заданной на множестве X и принимающей значения на множестве Y. Переменная x является независимой переменной (или аргументом), а y – зависимой. Множество X называется областью определения функции, а множество Y – областью значений.

7 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Задание функций Задать функцию означает определить три объекта: 1. Множество X 2. Множество Y 3. Правило f X Y f

8 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Аналитический способ Функция задана аналитически, если связь между функцией и аргументом задана формулой: Пример. Функция

9 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Табличный способ Функция задана таблицей, если для каждого значения аргумента в таблице указано соответствующее ему значение функции. x1234 y14916 Вопрос: это все возможные значения функции или некоторые?

10 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Графический способ Функция задана графически, если на плоскости изображено множество точек с координатами (x, y), абсциссы которых есть значения аргумента, а ординаты – соответствующие им значения функции. 0 x y График не дает точного представления о функции, зато позволяет ее «увидеть».

11 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Описательный способ Функция может быть задана словесно. Пример. Функция равна единице для всех рациональных значений аргумента и равна нулю для иррациональных. Это функция Дирихле. Ее можно записать иначе:

12 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Пример. Функция Филлипса Как известно, цена труда зависит от конъюнктуры рынка. Когда на рынке труда имеет место дефицит, то рабочие могут рассчитывать на большую зарплату, и наоборот, в период существования конъюнктурной безработицы рабочим будут платить меньше. В 1958 году профессор Лондонской школы экономики Филлипс опубликовал результаты своих исследований взаимозависимости между уровнем безработицы и изменением денежной ставки зарплаты в Великобритании в период с 1861 до 1957 года.

13 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Пример. Функция Филлипса Оказалось, что для первых 52 лет ( ) эта зависимость выражается уравнением: где X – общий уровень безработицы, Y – годовой темп прироста ставки заработной платы (в процентах) Аналитический способ задания функции Графический способ задания функции

3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г Свойства функций Шесть свойств, которыми могут обладать функции Понятие обратной функции

15 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Свойства функций Под основными свойствами функций y = f (x) будем понимать следующие шесть: 1) область определения D( f ) 2) область значений E( f ) 3) четность, нечетность 4) монотонность 5) ограниченность 6) периодичность

16 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Область определения Функция y = f (x) задана, или определена, на множестве X. Множество X называется областью определения функции. Пример. Найти область определения функции: Решение. Функция существует для всех значений аргумента, кроме x = 1. Область определения:

17 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Область значений Множество всех значений функции (множество Y) называется областью значений. Пример. Найти область значений функции: Решение. График функции – парабола. Область значений функции:

18 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Четность, нечетность Функция y = f (x) называется четной (even function), если для любого x из области определения: и нечетной (odd function), если : График четной функции симметричен относительно вертикальной оси, график нечетной функции центрально симметричен относительно начала координат.

19 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Примеры Функция y = x 2 – 1 четная, так как y(–x) = x 2 – 1 = y(x). График симметричен относительно вертикальной оси. Функция y = x 3 нечетная, так как y(–x) = (–x) 3 = – y(x). График центрально симметричен относительно начала координат. Функция y = x 2 - x + 2 не является ни четной, ни нечетной. Такие функции называют иногда функциями общего вида.

20 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Возрастающая функция Функция y = f (x) называется возрастающей на промежутке X, если для любых двух значений x 1 и x 2 из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции: Самостоятельно дайте определение убывающей функции, невозрастающей функции. xx1x1 x2x2 f(x2)f(x2) f(x1)f(x1) 0 y

21 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Монотонность Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями. xx1x1 x2x2 f(x2)f(x2) f(x1)f(x1) 0

22 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Ограниченность Функция y = f (x) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число M, что для любого x X выполняется условие | f (x) | M. В противном случае функция неограниченная. Пример. Функция y = sin x является ограниченной на всей числовой оси, поскольку выполняется условие: | sin x | 1

23 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Периодичность Функция y = f (x) называется периодической, если существует такое число T, что f (x +T) = f (x). Пример. Функция y = sin x является периодической, поскольку y = sin x = sin(x +2 k). Период T = 2.

24 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Обратная функция (inverse function) Если для различных значений x значения функции y = f (x) различны, то для функции f можно рассмотреть обратную ей функцию: x = f -1 (y). Обратная функция означает установление соответствия: Для обратной функции область определения – множество Y, область значений - множество X. Вопрос: всегда ли существует обратная функция? X Y f -1

25 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Примеры 1. Для функции y = sin x обратной функцией является x = arcsin y. 2. Для функции y = a x обратной функцией является x = log a y.

3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г Элементарные функции Пять видов основных элементарных функций Сложные функции Общее понятие элементарной функции Преобразование графиков

27 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Основные элементарные функции 1. Степенная функция: y = x 2. Показательная функция: y = a x (a > 0, a 1) 3. Логарифмическая функция: y = log a x ( a > 0, a 1) 4. Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x 5. Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x

28 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Сложная функция Пусть функция y = f (u) есть функция от переменной u, определенной на множестве U с областью значений Y, а переменная u, в свою очередь, является функцией u = g (x) от переменной x, определенной на множестве X, с областью значений U. Тогда функция y = f(g(x)), заданная на множестве X, называется сложной функцией. X U g Y f f(g(x)) Синонимы: композиция функций, суперпозиция функций, функция от функции.

29 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Понятие элементарной функции Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными. Пример. Функция: является элементарной.

30 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Функция Дирихле Пример неэлементарной функции - функция Дирихле: 0 x y 1 Это не график, поскольку построить график функции Дирихле невозможно. Это лишь ее схематическое изображение!

31 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Дирихле Петер Густав Лежён (1805 – 1859) Дирихле (Dirichlet) Петер Густав Лежён немецкий математик, член Берлинской Академии наук. С 17 лет был домашним учителем в Париже, в 22 года – доцент в Бреславле, в 26 лет – профессор Берлинского университета. С 1855 года профессор Геттингенского университета. В математике задача, интеграл, принцип, функция, ряды связаны с именем Дирихле.

32 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Преобразование графиков Если имеется функция y = f (x), то из ее графика путем преобразований можно получить график функции y = A f (ax + b) + B, где A, B, a, b – некоторые действительные числа. Подробнее об этом в приложении к лекции.

33 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Пример сложной функции Будон Р. Место беспорядка. Критика теории социального изменения Социальный или экономический феномен M является функцией суммы действий m, зависящих от ситуации S, в которой находятся акторы. Ситуация, в свою очередь, определяется макросоциальными характеристиками M. или

3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г.3 ноября 2012 г Последовательности ПонятиеПримеры

35 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Последовательность (sequence) Числовой последовательностью { a n } называется числовая функция: a n = f (n), заданная на множестве натуральных чисел n N. Члены последовательности: a 1 a 2 a 3 a 4 … a n …

36 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Примеры последовательностей 1. Последовательность: Общий член: 2. Последовательность: Общий член:

37 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Графики последовательностей График последовательности состоит из отдельных точек. Пример. Построим график последовательности:

38 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Графики последовательностей Иногда точки соединяют сглаживающими линиями для удобства и наглядности. Пример. Построим график последовательности:

39 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Ограниченная последовательность Последовательность называется ограниченной, если найдется такое число такое положительное число M, что для любого значения n выполняется условие | a n | M.

40 Иванов О.В. Кудряшова Л.В Пример ограниченной последовательности Ограниченная последовательность умещается в некотором «коридоре». Пример. Построим график последовательности: