Исследование влияния лимитера на порядок точности решения разрывным методом Галеркина ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ ИМ. М.В.КЕЛДЫША РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК Ладонкина М.Е., Неклюдова О.А., Тишкин В.Ф. Международная молодёжная конференция – школа «СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ» августа 2012 года, Дубна

План доклада Разрывный метод Галеркина для уравнений Эйлера. Лимитеры. Тестовая задача.

Метод Галеркина с разрывными базисными функциями (РМГ) для уравнений Эйлера Рассматрим уравнения одномерной идеальной газовой динамики Эти уравнения должны быть дополнены начальными и граничными условиями, вид которых зависит от конкретной задачи, и будут конкретизированы далее. (1) (2) - плотность - скорость - удельная внутренняя энергия - давление - полная энергия на единицы объема - показатель адиабаты

приближенное решение системы уравнений (1) будем искать в виде проекции вектора консервативных переменных на пространство полиномов P(х) степени р в базисе с зависящими от времени коэффициентами. (3)

Приближенное решение системы (1) в разрывном методе Галеркина ищется как решение следующей системы где i = 0, …,N, k = 0,1,2. для которых выполнено условие согласования: - вектор решения - дискретные потоки, являющиеся монотонными функциями двух переменных - базисная функция с номером k на интервале вычисленная в точках

Численные потоки Поток Русанова-Лакса-Фридрихса РусановВ.В. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями. 1961, Журнал вычислительной математики и математической физики, т.I, 2, скорость - скорость звука

Лимитеры Ограничитель (лимитер) представляет собой некоторый оператор, действующий на функцию приближенного решения на каждом интервале Обозначим действие этого оператора на функцию u через для линейной функции можно записать как - среднее интегральное значение приближенного решения на интервале где Ограничитель Кокбурна

вместо функции используется функция Обозначим его. Ограничитель Колгана Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно- разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики. 1972, Ученые записки ЦАГИ. т. 3, 6.,С. 68 – 77.

В случае лимитирование прекращается, Коэффициент соответствует k- ой производной решения, и он сравнивается с альтернативной аппроксимацией k-ой производной через правую и левую разности (k-1)-ой производной. Начиная со старших коэффициентов k=p, заменим на «Моментный» лимитер характеризуется тем, что сохраняет максимально возможный порядок схемы. Решение лимитируется путем лимитирования его коэффициентов. Лимитер срабатывает, если иначе лимитируется коэффициент продолжая до тех пор, пока либо k=1,либо выполнится условие. «Моментный» ограничитель Для применения данного лимитера перейдем к ортогональной системе базисных функций. Lilia Krivodonova, Limiters for high-order discontinuous Galerkin methods, 2007, Journal of Computational Physics, vol. 226,pp

В случае нелинейных систем следует применять лимитеры к характеристическим переменным. Лимитер Кокбурна Моментный лимитер где L - матрица левых собственных векторов Якобиана системы (1), вычисленная в центральной точке х i интервала I i, j-номер уравнения в системе. После лимитирования возвращаемся к исходным консервативным переменным, умножая результаты лимитирования на матрицу, составленную из правых собственных векторов Якобиана системы (1).

Схема Рунге-Кутта третьего порядка..

Исследование влияние различных лимитирующих функций на порядок точности решения разрывным методом Галеркина Распределение плотности в начальный момент выберем в виде бесконечно гладкой функции: Остальные гидродинамические параметры определяются из условий постоянства энтропии и инварианта Начальные профили плотности, импульса и полной энергии: На границах области были заданы постоянные граничные условия:

Семейство характеристик, на которых инварианты постоянны в простой волне является прямыми линиями, и это дает возможность записать решение в неявном виде. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.Гидродинамика, Теоретическая физика: Т.VI. –М.: Физматлит, 2001.

Решение данной задачи сохраняет гладкость до того момента времени, пока характеристики, выпущенные из разных точек, не начнут пересекаться. для Вычислим момент возникновения ударной волны Из графика видно, что момент образования ударной волны приблизительно равен T = 0.09

Вычисление порядка точности метода.

Таблицы