Решение комбинаторных задач. 1

Цели урока: Подвести итог проделанной работе, решить задачи с применением всех правил и формул. Проверить осознанность усвоения материала. Развитие навыков комбинаторного мышления. Воспитание творческого подхода к решению задач. 2

3 Проверка домашнего задания Условие задачиРешение задачи Сколькими способами 9 учащихся могут встать в очередь в школьном буфете? Р 9 =9!= = Ответ: способов Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по школе? Количество сочетаний из 11 по 3 (порядок выбора не имеет значения). Ответ: 165 способов. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанции100м? Выбор из 8 по 3 с учётом порядка. Ответ: 336 способов.

4 Вид комбинации ФормулаХарактерный пример Перестановка Pn=n!Pn=n! Вся совокупность трёхзначных номеров Сочетание Вся совокупность всех десятичных номеров, в каждом из которых нет повторений цифр Размещение Всевозможные варианты состава группы в количестве 3-х человек из коллектива, в которых 10 человек

5 1. Если на одной полке книжного шкафа стоит 30 различных книг, а на другой40 различных книг (и нет таких, как на первой полке), то выбрать одну книгу из стоящих на этих полках можно:… 2.В конференции участвовало 30 человек. Каждый участник с каждым обменялся визитной карточкой. Сколько всего понадобится карточек? 30+40= 70 способов Ответ: 70 способов Каждый из 30 участников конференции раздал 29 карточек. Всего было роздано = 870 карточек. Ответ:870 Решение задач

6 СочетанияРазмещения 3. Сколько рукопожатий получится, если здороваются 5 человек? {Вася, Петя} = {Петя, Вася} - – одно и то же. Порядок неважен. Сочетание из пяти по два. 4. Сколькими способами пять человек могут обменяться фотографиями? {Вася, Петя} {Петя, Вася} - – разные обмены. Порядок важен. Размещение из пяти по два. Решение задач 3. Сколько рукопожатий получится, если здороваются 5 человек? 4. Сколькими способами пять человек могут обменяться фотографиями?

7 СочетанияРазмещения 5. Сколько аккордов можно сыграть с помощью трех клавиш из семи? {до, ми, соль} = {до, соль, ми} – одно и то же. Порядок неважен, значит это подмножество по три элемента из семи, значит это сочетание из семи по три. 6. Сколько мелодий (трезвучий, проигрышей) можно сыграть с помощью трех клавиш из семи? {до, ми, соль} {до, соль, ми} – разные мелодии. Порядок важен, значит это последовательность по три элемента из семи - размещение из семи по три. Решение задач 5. Сколько аккордов можно сыграть с помощью трех клавиш из семи? 6. Сколько мелодий (трезвучий, проигрышей) можно сыграть с помощью трех клавиш из семи?

o Сколькими способами 5 ламп можно расположить в круговой гирлянде? o Сколькими способами пять часовых можно расположить у основания пятиугольной пирамиды по ее углам? o Сколькими способами n человек могут сесть на одной скамейке? o Сколько различных упорядоченных наборов мы можем составить, имея некоторое число элементов? 8 Решение задач Каждый из таких упорядоченных наборов, есть перестановка.

9 8.Команда из 6 человек готовится к выполнению на брусьях. Сколькими способами можно установить их очерёдность, если А) Ира должна выступить первой. Б) Ира должна выступить первой, а Зоя последней. В) Ира и Зоя должны выступать одна за другой. Г) Ира должна выступить первой или второй. Решение задачи: А) Ира выступает первой, «фиксируем» первое место. Перестановка из 5 элементов Р 5 =5!. Б) «Фиксируем» первое место и последнее. Перестановка из 4 элементов Р 4 =4!. В) «Склеиваем» 2 элемента, 1 место –Ира, 2 место –Зоя, перестановка из 5 элементов Р 5 =5!, 1 место –Зоя, 2 место - Ира, Р 5 =5!. По правилу суммы 5! + 5! = =240. Г) Ира первой 5!, Ира второй 5!. По правилу суммы имеем = 240. Ответ: 120, 24, 240, 240. Решение задач

10 9. Вороне как-то Бог послал кусочек сыра, брынзы, колбасы, сухарика, шоколада. «На ель ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж собралась, да призадумалась»: а) если есть кусочки по очереди, из скольких вариантов придётся выбирать; б) сколько получится «бутербродов» из двух кусочков; в) если первым везде оставить любимый сыр в «бутерброде», а вторым остальные, то сколько будет вариантов бутербродов; г) сколько получится вариантов, если какой-то кусочек всё- таки бросить лисе, а потом ответить на вопрос пункта а)? Рассмотреть все возможные случаи. Решение задач

11 Вороне Бог послал кусочки 5 разных видов. а) Есть все кусочки по очереди - это, значит, выбирать только порядок их расположения, т. е. образовывать разные перестановки из 5 элементов. Р 5 = 5! = 120. б) Делать бутерброды из двух кусочков - это выбирать разные пары из 5 данных кусочков; при этом порядок выбора не важен; в) Если первым сыр, то вторым - любой из 4- х кусочков. По правилу произведения 1. 4 = 4. г) Если бросить Лисе кусочек, то останутся 4 кусочка, которые можно съесть одним из Р 4 = 4! = 24 способов (меняется только порядок поедания). Но Лисе можно бросить любой из 5 имеющихся кусочков, при этом в каждом случае будут оставаться 4 разных набора кусочков, каждый из которых можно съесть 24 способами. Общее число вариантов по правилу умножения : 5 ·Р 4 = 5 ·24= 120. Ответ: а) 120; б) 10; в) 4; г)120. Решение задач

Домашнее задание. Решить задачи из сборника Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова "Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе" стр