Законы логики Название закона для конъюнкции для дизъюнкции для инверсии Равносильности A A = A A V A = AA = A A A = 0 A V A = 1 Исключения констант A 1 =A A 0 = 0 A V 1 = 1 A V 0 = A A = A Отрицание конъюнкции: A B = A V B Отрицание дизъюнкции: A V B = A B Переместительн ый A B = B A A V B = B V A Сочетательный (A B) C= A (B C) (A VB) VC= A V(B VC) Распределитель ный A (BVC) = (A B)V(A C) A V(B C) = (A VB) (A VC)

НазваниеДля конъюнкцииДля дизъюнкции Правило поглоще- ния A (BVA) = A A V(B A) = A Правило свёртки A (BVA) = A B A V(B A) = A V B Правило склеива- ния (A V B) (A V B)=A (A B) V (A B)=A Правило расшире- ния (A V B) (A V C) (B V C) = (A V B) (A V C) (A B) V (A C) V (B C)= (A B) V (A C)

Минимизация логических выражений (функций) Упражнения 1. Найдите значения выражений: А) (1 V1) V (1V0) =1 Б) (A V 1) V (b V 0)=1 B) (0 & 1) & 1 =0 Минимизация – это приведение логического выражения к кратчайшей форме, когда количество переменных и логических операций в выражении становится минимальным. Г) ((1 & A) V (B & 0)) V 1 =1 2. Вычислите: А) 1 V x & 0 = Б) x & x & 1 = В) 0 & x V 0 = Г) 0 V x & x = 1 x 0 x 3. Найдите х, если (x V a) V ( x V a) = b x = b 4. Путём преобразований докажите равносильность следующих высказываний: А) (a & b) V ( b & c) и(a & b ) V ( a & c) V (b & c) B) (a & b ) V ( a & c) и( a & b) V a V c

Решение примеров на минимизацию логических выражений и функций 1. (A + B)( A + B) A B 2. A + A (B + (A (BC))) (A C) = A B = A 3.( (A B) + B C) ( A C + A + C)= (A B) 4. (x a) (x a) = x 5. (ab c) abc ab = ab 6. ( x y) x (x ( x y))= x + y

Логическоеследование(импликация Логическое следование(импликация ) Логическое следование(импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи « если…, то… ». Пример: Р = Если число делится на 9, то оно делится на 3 Обозначение импликации:А В; А В Говорят: если А, то В; А имплицирует В; А влечет В; В следует из А Таблица истинности: АВ А В Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (когда истинная предпосылка ведет к ложному выводу). Операцию импликации можно заменить базовыми логическими операциями: А В = А В

ЕГЭ 2006 A9 Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание: (X>4) \/ ((X>1) X>4))? 1)12)23)34)4 A10 Какое логическое выражение равносильно выражению ¬ (¬A \/ B) \/ ¬C? 1)(A /\ ¬B) \/ ¬C2)¬A \/ B \/ ¬C3)A \/ ¬B \/ ¬C 4)(¬A /\ B) \/ ¬C A11 Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности : Какое выражение соответствует F? 1)¬X \/ ¬Y \/ ¬Z2)X /\ ¬Y /\ ¬Z3)X \/ Y \/ Z 4)X /\ Y /\ Z XYZF

ЕГЭ 2007 A9 Для какого числа X истинно высказывание ((X>3) \/(X

Решениелогическихзадач Решение логических задач 1. с помощью графов Задача 1. В шашечном турнире каждый из ребят – Миша, Серёжа и Яша – защищал честь своего класса. Один из них учится в 10 А, другой – в 10 Б, третий - в 10 В классе. Первую партию играл Миша и ученик 10 А класса. Вторую – Серёжа с учеником 10 В класса, а Миша отдыхал. Кто за какой класс играл? Дано: Миша (М) Серёжа (С) Яша (Я) Классы 10 А 10 Б 10 В Надо: Кто за какой класс играл? Рассуждения: М10 А С10 Б Я10 В Ответ: Сережа играл за 10 А класс, Миша – за 10 Б класс, Яша – за 10 В класс.

Задача Перед началом Турнира Четырёх болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров: А) Макс победит, Билл – второй; В) Билл – третий, Ник – первый; С) Макс – последний, а первый – Джон. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс? ( В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в указанном порядке имён.) Решение: Макс1 Билл2 Ник3 Джон4 Противоречие! Макс1 Билл2 Ник3 Джон4 Макс – 4Билл – 2Ник – 1Джон - 3 Ответ:

Задача 3. В начале лета школьники организовали сельскохозяйственную бригаду и избрали бригадира, заместителя бригадира и звеньевых первого, второго и третьего звеньев. Их имена: Аня, Боря, Вася, Гриша и Дина. Звеньевая первого звена решила подружиться со звеньевой второго звена. Дина удивилась, узнав, что бригадир и звеньевая второго звена – брат и сестра. Гриша дружит с бригадиром и его заместителем. У Васи нет сестёр. Назовите должности каждого из ребят. Ответ: Аня – звеньевая 2 звена Боря - бригадир Вася – заместитель бригадира Гриша - звеньевой 3 звена Дина - звеньевая 1 звена

2. с помощью таблиц Задача 4. Корнеев, Докшин, Мареев и Скобелев –жители нашего города. Их профессии – пекарь, врач, инженер и милиционер. Известно, что: 1.Корнеев и Докшин – соседи и всегда на работу ездят вместе; 2.Докшин старше Мареева; 3.Корнеев регулярно обыгрывает Скобелева в настольный теннис; 4.Пекарь на работу всегда ходит пешком; 5.Милиционер живёт не рядом с врачом; 6.Инженер и милиционер встречались один раз, когда милиционер оштрафовал инженера за нарушение правил уличного движения; 7.Милиционер старше врача и инженера. Определите, кто чем занимается.

Профессия КорнеевДокшинМареевСкобелев Пекарь Врач Инженер Милиционер Фамилия

Задача 5. Дина, Соня, Коля, Рома и Маша учатся в институте. Их фамилии: Бойченко, Карпенко, Лысенко, Савченко и Шевченко. Известно, что: 1.У Ромы нет матери. 2.Родители Дины никогда не видели родителей Коли. 3.Студенту Шевченко и Бойченко играют в одной баскетбольной команде. 4.Услышав, что родители Карпенко собираются за город, мать Шевченко пришла к матери Карпенко и попросила, чтобы та отпустила своего сына к ним на вечер, но оказалось, что отец Коли уже договорился с родителями Карпенко и пригласил их сына к Коле. 5.Родители Лысенко – хорошие друзья родителей Бойченко. Все четверо очень довольны, что их дети собираются пожениться. Установите имя и фамилию каждого из студентов. Ответ: Дина Шевченко, Соня Бойченко, Коля Лысенко, Рома Савченко, Миша Карпенко.