Теорему Пифагора называли «мостом ослов», так как слабые ученики, заучивающие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Или «бегство убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора» Иоганн Кеплер

Теорема Пифагора! Без преувеличения можно сказать, что это самая известная теорема геометрии, ибо о ней знает подавляющее большинство населения планеты, хотя доказать ее способна лишь очень незначительная его часть.

«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах».катетах

Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем : Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим И таким простым путем К результату мы придем.

Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур Аддитивные доказательства (основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе Доказательства методом достроения Алгебраический метод доказательства И т.д.

Не подлежит, однако, сомнению, что эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т. е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. Да и поныне сельские строители и плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя ее детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол.

Как свидетельствуют летописи, в Древнем Китае уже около 2200 года до н.э. для треугольника со сторонами 3, 4, 5 было найдено правило «гоу-гу», с помощью которого можно было по известным гипотенузе и одному из катетов находить другой неизвестный катет, а также гипотенузу, если известны оба катета. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике.

Большая часть доказательств теоремы Пифагора выполнена геометрическими методами, среди которых значительное место занимает метод разложения. Сущность метода разложения заключается в том, что квадрат, построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты, построенные на катетах, с другой, складываются из равных частей. Простейший пример применения этого метода имеем при доказательстве теоремы Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника (см. рис.). Из этого рисунка все так понятно, что комментировать его не требуется. Как писал в подобных случаях индийский математик XII века Бхаскара: «Смотри!»

историческая справка. Кто и когда придумал первое уравнение? Ответить на этот вопрос не возможно. Задачи, сводящиеся к простейшим уравнениям,люди решали на основе здравого смысла с того времени, как они стали людьми. Еще древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначающее неизвестное число, но так как у них не было еще знаков равенства и знаков действий,то записывать уравнения они, конечно не умели. Первый по-настоящему серьезный шаг в этом направлении сделал замечательный александрийский ученый Диофант, использовавший в своем творчестве достижения египтян, вавилонян и греков. Именно Диофант придумал обозначения для неизвестных.

В средневековой Европе мысли Диофанта получили большое распространение и развитие. В веках буквами для обозначения неизвестных стали пользоваться все математики. Большое влияние на развитие математики в Европе оказало сочинение Мухаммеда бен Муса аль-Хорезми, которое по-арабски называется «Китаб аль-джебр валь-мукабала». А само слово «аль-джебр», входившее в название книги, постепенно стало названием науки- алгебра.

В своей работе мы хотим уделить внимание одному из таких уравнений:

Оно относится к так называемым «диофантовым», решением которых являются целые числа. Одна частная задача на данное неопределенное уравнение возникла примерно за 2 тыс. лет до Диофанта в Древнем Египте: если стороны треугольника пропорциональны числам 3,4,5 то этот треугольник прямоугольный. Этот факт использовали для построения на местности прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид это надо было уметь. Поступали довольно просто. На верёвке на равном расстоянии друг от друга завязывали узлы. В точке С, где надо было построить прямой угол, забивали колышек, веревку натягивали в направлении, нужном строителям, забивали второй колышек в точке B (СВ=4) и натягивали веревку так, чтобы АС=3 и АВ=5.Треугольник с такими длинами сторон называют египетским. Безошибочность такого построения следует из теоремы, обратной теоремы Пифагора: если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третий стороны, то такой треугольник является прямоугольным. Иначе говоря числа 3,4.5 являются корнями уравнения :

Сразу же возникает вопрос: нет ли у этого уравнения других целочисленных значений, и нельзя ли, взяв произвольно одно из чисел, указать остальные два. Такие вопросы интересовали еще мудрецов Древнего Вавилона. они нашли ответы на них. Знал это и Пифагор.

Один из путей решения уравнения в целых числах оказался довольно простым. Запишем подряд квадраты натуральных чисел(«квадратные числа», как говорили древние), отделив их друг от друга запятой. Под каждой запятой запишем разность между последовательными квадратами: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…. 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31…. А теперь внимание! В нижней строке есть квадратные числа! Первое из них 9=, над ним 16= и 25=, знакомая нам тройка 3, 4, 5. Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствуют 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку 5, 12, 13. Если продолжить строку квадратных чисел и посчитать соответствующие разности, то во второй строке найдёте 49=, этому числу отвечают в строке квадратов 576= и 625=. И действительно, + =. Это уже третья тройка. Она была известна еще в Древнем Египте. Кстати, теперь мы имеем право сформулировать теорему!

Перепишем уравнение Пифагора следующим образом: ;. Это означает, что число x должно разлагаться на два неравных множителя z+y и z-y, которые мы обозначим так, что получится система: Почему написаны коэффициенты 2 и почему написаны квадраты, а не просто числа a и b? Это сделано с целью получить аккуратные ответы. Решив эту систему, получим: z = ; ; y= ; x=2ab

Из этого следует, что наименьшим значением числа b может быть только единица, тогда наименьшим значением a будет 2. Вычислим x, y, z. Получается z=5, y=3, x=4, это уже известный нам «египетский треугольник». А теперь составим таблицу. Длины сторон (целочисленные) прямоугольных треугольников. а в , 4, 5 6, 8, 10 5, 12, 13 8, 15, 17 12, 16, 20 7, 24, 25 10, 24, 26 20, 21, 29 12, 35, 37 24, 32, 40 27, 36, 45