Представление числовой информации с помощью систем счисления

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Цифры бывают разные, самыми распространёнными являются арабские цифры, представляемые известными нам знаками от нуля (0) до девяти (9); менее распространены римские цифры, мы их можем иногда встретить на циферблате часов или в обозначении века (XIX век). Цифры это знаки, используемые для записи чисел.

Число это некоторая абстрактная сущность для описания количества. Для записи информации о количестве объектов используются числа. Существует множество способов записи чисел с помощью цифр. Эти способы грубо можно разделить на три части: - позиционные системы счисления; - смешанные системы счисления; - непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры ( т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа ) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе XXXII ( тридцать два ) вес цифры X в любой позиции равен десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения ( позиции ) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в десятичном числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая - 7 единиц, а третья - 7 десятых долей единицы. Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись суммы ,7 = 7 * * * * 10-1 = 757,7 Не позиционныеПозиционные СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ:

Позиционная система счисления характеризуется: Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. алфавитом основанием

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от её позиции в числе Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание. В позитивных системах счисления основание системы равно количеству цифр ( знаков в её алфавите ) и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.

Не позиционная система счисления: В непозиционных системах счисления величина числа не зависит от положения цифр в представлении чисел. Если бы мы перемешали цифры в числе , то мы бы не смогли понять, сколько стоит пылесос; в непозиционной системе цифры числа можно перемешивать, при этом сумма не изменяется. Ярким примером непозиционной системы счисления является римская система.

Система счисления Основание Алфавит цифр Десятичная10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Двоичная20, 1 Восьмеричная8 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Шестнадцатеричная160, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А (10), В (11), С (12), D (13), E (14), F (15) Система счисления

Десятичная система счисления. Рассмотрим в качестве примерно десятичное число 555. Цифра 5 встречается трижды, причем самая правая цифра 5 обозначает пять единиц, вторая справа – пять десятков и, наконец, третья справа – пять сотен. Рассмотрим в качестве примерно десятичное число 555. Цифра 5 встречается трижды, причем самая правая цифра 5 обозначает пять единиц, вторая справа – пять десятков и, наконец, третья справа – пять сотен. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. В десятичной системе цифра, находящаяся в крайней справа позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра, смещенная на одну позицию влево, - количество десятков, еще левее сотен, затем тысяч и так далее. Соответственно имеем разряд единиц, разряд десятков и так далее. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. В десятичной системе цифра, находящаяся в крайней справа позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра, смещенная на одну позицию влево, - количество десятков, еще левее сотен, затем тысяч и так далее. Соответственно имеем разряд единиц, разряд десятков и так далее. По плотности записи информации уступает многим другим системам счисления, но по удобству пользования человеком превосходит другие системы счисления.

В общем случае в десятичной системе счисления запись числа А10, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных чисел, выглядит так: Коэффициенты a I в этой записи являются цифрами десятичного числа, которое в свернутой форме записывается так: В общем случае в двоичной системе запись числа А2, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, выглядит так: А 10 = a n-1 а n-2 … а 0, а -1 … а -m. А 2 = а n-1 * 2 n-1 + a n-2 * 2 n-2 +…+ a 0 * a -1 * …+ a -m * 2 -m.

Коэффициенты a i в этой записи являются цифрами (0 или 1) двоичного числа, которое в свернутой форме записывается так: Позиционные системы счисления с произвольным основанием. Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которого равно или больше 2. В системах счисления с основанием q (q – ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1 q – 1: A 2 = a n-1 a n-2 … a 0, a -1 a -2 … a -m. A q = a n-1 * q n-1 + a n-2 * q n-2 + … + a 0 * q 0 + a -1 * q -1 + … + a -m * q -m.

В компьютерной технике очень часто используется двоичная система счисления. Такую систему очень легко реализовать в электронике (кремнии, транзисторах, микросхемах), так как для неё требуется всего два устойчивых состояния (0 и 1). Двоичная система счисления может быть не позиционной и позиционной системой. В ней используется две цифры: 0 и 1. В железе это может быть реализовано присутствием какого-либо физического явления или его отсутствием. Например: есть электрический заряд или его нет, есть напряжение или нет, есть ток или нет, есть сопротивление или нет, отражает свет или нет, намагничено или не намагничено, есть дырка или нет и т. п. Двоичная система счисления

464 | 0 б) 380 | 0 |1875 а) 232 | | 0 0| | 0 95 | 1 0|75 58 | 0 47 | 1 1|5 29 | 1 23 | 1 1|0 14 | 0 11 | 1 7 | 1 5 | 1 3 | 1 2 | 0 1 | 1 1 | 1 1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную: а) 464(10); б) 380,1875(10); в) 115,94(10) (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении). в)115 | 1 57 | 1 28 | 0 14 | 0 7 | 1 3 | 1 1 | 1 |94 1|88 1|76 1|52 1|04 0|16 0|08

Вы это можете проверить на программе-калькуляторе (gcalctool в gnome, Kcalc в KDE, или калькулятор в Windows). Он умеет производить расчёты в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Теперь вы знаете, как он это проделывает. Если вы захотите посвятить свою жизнь программированию, то вам часто придётся работать со степенями двойки. Хорошо бы было их вам поскорее выучить. Вот таблица: Вы это можете проверить на программе-калькуляторе (gcalctool в gnome, Kcalc в KDE, или калькулятор в Windows). Он умеет производить расчёты в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Теперь вы знаете, как он это проделывает. Если вы захотите посвятить свою жизнь программированию, то вам часто придётся работать со степенями двойки. Хорошо бы было их вам поскорее выучить. Вот таблица: Степень Значение Произведём обратное преобразование. Чтобы преобразовать число в десятичном виде к двоичному, нам нужно будет делить всё время на два и смотреть на остаток от деления. Возьмём число 33. Степень Значение Произведём обратное преобразование. Чтобы преобразовать число в десятичном виде к двоичному, нам нужно будет делить всё время на два и смотреть на остаток от деления. Возьмём число : 2 = 16 остаток 1; 16 : 2 = 8 остаток 0; 8 : 2 = 4 остаток 0; 4 : 2 = 2 остаток 0; 2 : 2 = 1 остаток 0; 1 : 2 = 0 остаток 1;

Компьютерам очень удобно оперировать двоичными числами, но люди не привыкли работать с большим количеством цифр. Например, чтобы представить в двоичном виде число 1234 потребуется больше 10 двоичных цифр ( ). Поэтому были придуманы восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений. Они удобны как и десятичные числа тем, что для представления числа требуется меньшее количество разрядов. А по сравнению с десятичными числами, перевод в двоичное представление очень простой. Это как будто мы двоичное число разбили на группы по три или четыре разряда и каждой двоичной комбинации придумали значок. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений

Шестидесятеричная система счисления То, как мы представляем время на часах, это пример шестидесятеричной позиционной системы счисления. В представлении времени используется три позиции: для часов, минут и секунд; так как для каждой позиции приходится использовать 60 цифр, а у нас только десять цифр, то для каждой шестидесятеричной позиции используется две десятичные цифры (00, 01, 02,..., 59), а позиции разделяются двоеточием. То, как мы представляем время на часах, это пример шестидесятеричной позиционной системы счисления. В представлении времени используется три позиции: для часов, минут и секунд; так как для каждой позиции приходится использовать 60 цифр, а у нас только десять цифр, то для каждой шестидесятеричной позиции используется две десятичные цифры (00, 01, 02,..., 59), а позиции разделяются двоеточием. h m s60 0 = h m60 + s. Чтобы получить время в секундах мы должны посчитать вот по такой формуле: