Лекция 6 Динамика релятивистской частицы 13/03/2012 Алексей Викторович Гуденко

План лекции Постулаты теории относительности. Принцип относительности Эйнштейна. Релятивистская кинематика. Замедление времени и сокращение длины. Преобразования Лоренца. Интервал. Релятивистский закон сложения скоростей. Релятивистский импульс. Релятивистская энергия. Связь между энергией и импульсом частицы. Динамический инвариант. Примеры релятивистского движения частиц.

Альберт Эйнштейн ( ) Альберт Эйнштейн – немецкий физик-теоретик (в 1933 г. переехал в США). Нобелевская премия 1921 г. «за заслуги перед теоретической физикой, и особенно за открытие закона фотоэлектирческого эффекта».

Основные принципы (постулаты) специальной теории относительности (СТО) Специальная теория относительности - изучает быстро движущиеся частицы в ИСО. Законы природы = inv. Постулат I. Законы природы = inv. Все физические законы – как механические так и электромагнитные – имеют одинаковый вид во всех ИСО. Никакими опытами невозможно установить, какая из инерциальных систем неподвижна. Скорость света = inv c км/с Постулат II. Скорость света = inv Скорость света в пустоте одна и та же во всех инерциальных системах отсчёта и равна c км/с

Скорость света С = inv С = м/с Скорость света не изменяется при переходе от одной ИСО к другой, т.е. является инвариантом. Скорость света в вакууме не зависит от движения источника света и одинакова во всех направлениях. Скорость света в вакууме является предельной: никакой сигнал, никакие частицы, никакое воздействие одного тела на другое не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Это предельная скорость передачи информации.

Относительность одновременности. Δt' = 0 - из симметрии Δt = L/(c-v) - L/(c+v) = 2Lv/(c 2 – v 2 ), длина стержня x 2 – x 1 = 2L

Замедление времени. Синхронизация часов. Собственное время τ 0 – самое маленькое. Все движущиеся часы покажут большее время: τ > τ 0

Лоренцевское сокращение l = l 0 (1 – β 2 ) 1/2 Длина стержня – разность координат его концов в одно и то же время (Δt = 0) – зависит от системы отсчёта. l 0 – длина покоящегося стержня (собственная длина) l = l 0 (1 – β 2 ) 1/2 Продольные размеры движущегося со скоростью β стержня сокращаются: l = l 0 (1 – β 2 ) 1/2

Преобразования Лоренца x = (x – ut)/(1 – β 2 ) 1/2 y = y z = z t = (t – ux/c 2 )/(1 – β 2 ) 1/2 x = (x + ut)/(1 – β 2 ) 1/2 y = y z = z t = (t + ux/c 2 )/(1 – β 2 ) 1/2

Интервал – релятивистский инвариант. Причинность. S 2 = (сΔt) 2 – Δx 2 – Δy 2 – Δz 2 = (сΔt') 2 – Δx' 2 – Δy' 2 – Δz' 2 Для любой пары событий величина пространственно-временного интервала между событиями s является инвариантом: S 2 = (сΔt) 2 – Δx 2 – Δy 2 – Δz 2 = (сΔt') 2 – Δx' 2 – Δy' 2 – Δz' 2 Типы интервалов: 1. S 2 = 0 – светоподобный интервал 2. S 2 > 0 – времениподобный интервал. Между событиями может быть причинно-следственная связь 3. S 2 < 0 – пространственноподобный интервал. Между событиями не может быть причинно-следственной связи.

Сложение скоростей в СТО v x = (v x + u)/(1 + v x u/c 2 ) v y = (v y + u)(1 – u 2 /c 2 ) 1/2 /(1 + v y u/c 2 ) v z = (v z + u)(1 – u 2 /c 2 ) 1/2 /(1 + v z u/c 2 ) 1/2

Две частицы Расстояние между частицами L = 1,6 cв.с. Частицы летят навстречу друг другу с v = 0,8 c Через какое время они встретятся: 1) по лабораторным часам? 2) по собственным часам? 1) Скорость сближения – 2v, Δt = L/2v = 1 c 2) Относительная скорость v = 2v/(1+β 2 ) = 0,975 c < c Время встречи по собственным часам расчитаем через интервал: s 2 = (c Δt) 2 – (L/2) 2 s 2 = (c Δt 0 ) 2 Δt 0 = [(Δt) 2 – (L/2c) 2 ] 1/2 = 0,6 c

Импульс и энергия в СТО Импульс релятивистской частицы p = m 0 v/(1 – v 2 /c 2 ) 1/2 Релятивистская энергия: Е = mc 2 /(1 – v 2 /c 2 ) 1/2 Энергия покоя: Е 0 = mc 2 Кинетическая энергия: K = E – E 0 ; Скорость частицы: v = c 2 p/E E 2 = E p 2 c 2 pc = (K(K + 2E 0 )) 1/2 Для безмассовых частиц: E = pc; v = c закон дисперсии релятивистской частицы E = E(p): E = (E p 2 c 2 ) 1/2

Законы релятивистской динамики F = dP/dt Работа силы: dA = Fdr Кинетическая энергия частицы: К = Fdr = dp/dt vdt = vdp = pv - pdv = mv 2 /(1 – v 2 /c 2 ) 1/2 + mc 2 (1 – v 2 /c 2 ) 1/2 – mc 2 = mc 2 /(1 – v 2 /c 2 ) 1/2 – mc 2

Энергия релятивистской частицы К = mc 2 /(1 – v 2 /c 2 ) 1/2 – mc 2 Для малых скоростей – обычная формула: К = mc 2 /(1 – v 2 /c 2 ) 1/2 – mc 2 ½ mv 2 v c K

Динамический инвариант E 2 – pc 2 = inv p + p p + p + p + p ~ При столкновении протонов высоких энергий могут образовываться антипротоны: p + p p + p + p + p ~ Пороговая энергия реакции К порог = ? К порог = E p = 938 МэВ 1 ГэВ 1. Встречные пучки: К порог = E p = 938 МэВ 1 ГэВ К порог = 6E p 6 ГэВ 2. неподвижная мишень: К порог = 6E p 6 ГэВ

Мюон (μ) – нестабильная частица с временем жизни τ 0 2 мкс Задача (5.11). Время жизни τ 0 = 2,2 мкс Масса m 207 m e E = 1 ГэВ β = ? τ = ? S = ? β 0,995; τ = τ 0 E/mc 2 10 τ 0 = 2, c; S c τ = 6 км