Принцип Дирихле Работу выполнил ученик 6 «А» класса Клишин Антон

Формулировка При́нцип Дирихле́ утверждение, устанавливающее связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при выполнении определённых условий. При́нцип Дирихле́ утверждение, устанавливающее связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при выполнении определённых условий.«кроликами»«клетками»«кроликами»«клетками» Формулировки Формулировки Предположим m кроликов рассажены в n клетках. Наиболее распространена следующая формулировка этого принципа: Предположим m кроликов рассажены в n клетках. Наиболее распространена следующая формулировка этого принципа: Предположим, некоторое число кроликов рассажены в клетках. Если число кроликов больше, чем число клеток, то хотя бы в одной из клеток будет больше одного кролика. Предположим, некоторое число кроликов рассажены в клетках. Если число кроликов больше, чем число клеток, то хотя бы в одной из клеток будет больше одного кролика. Наиболее общая формулировка звучит так: Наиболее общая формулировка звучит так: Предположим, m кроликов рассажены в n клетках. Тогда если m > n, то хотя бы в одной клетке содержится не менее n : m кроликов, а также хотя бы в одной другой клетке содержится не более n : m кроликов. Предположим, m кроликов рассажены в n клетках. Тогда если m > n, то хотя бы в одной клетке содержится не менее n : m кроликов, а также хотя бы в одной другой клетке содержится не более n : m кроликов. Возможны также несколько формулировок для частных случаев: Возможны также несколько формулировок для частных случаев: Если число клеток больше, чем число кроликов, то как минимум одна клетка пуста. Если число клеток больше, чем число кроликов, то как минимум одна клетка пуста. Пусть задана функция и мощность множества A больше мощности B, то есть | A | > n | B |, где. Тогда некоторое своё значение функция f примет, по крайней мере n + 1 раз. Пусть задана функция и мощность множества A больше мощности B, то есть | A | > n | B |, где. Тогда некоторое своё значение функция f примет, по крайней мере n + 1 раз.функциямощность множествафункциямощность множества

Примечание: Принцип Дирихле известен также как принцип голубей и ящиков, когда объектами являются голуби, а контейнерами ящики. Это название распространено в английском и некоторых других языках. Принцип Дирихле известен также как принцип голубей и ящиков, когда объектами являются голуби, а контейнерами ящики. Это название распространено в английском и некоторых других языках.английском 9 клеток вмещают 7 голубей, значит, хотя бы 9-7=2 клетки свободны 9 клеток вмещают 7 голубей, значит, хотя бы 9-7=2 клетки свободны

ЗАДАЧИ:

Задача 1 Шесть школьников съели семь конфет. Шесть школьников съели семь конфет. а) Докажите, что один из них съел не менее двух конфет. б) Верно ли, что кто-то съел ровно две конфеты? Ответ

Задача 2 В классе 15 учеников. Найдется ли месяц, в котором отмечают свои дни рождения не меньше, чем два ученика этого класса ? В классе 15 учеников. Найдется ли месяц, в котором отмечают свои дни рождения не меньше, чем два ученика этого класса ? Ответ

Задача 3 В ковре размером 4 х 4 метра моль проела 15 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1 х 1 метр, не содержащий внутри себя дырок. (Дырки считаются точечными). В ковре размером 4 х 4 метра моль проела 15 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1 х 1 метр, не содержащий внутри себя дырок. (Дырки считаются точечными). Ответ

Задача 4 На финальном матче школьного первенства по баскетболу команда 6А забила 9 мячей. Докажите, что найдутся два игрока этой команды, забившие поровну мячей. (В команде было 5 игроков.) Ответ

Задача 5 В Москве проживает более людей. На голове у каждого человека не может быть более волос. Докажите, что наверняка найдутся 34 москвича с одинаковым числом волос на голове. В Москве проживает более людей. На голове у каждого человека не может быть более волос. Докажите, что наверняка найдутся 34 москвича с одинаковым числом волос на голове. Ответ Ответ Ответ

Задача 6 За победу в турнире Архимеда команда из 8 человек получила 12 конфет. Дети поделили конфеты между собой, не разламывая их. Определите, верны ли следующие утверждения: «кому-то досталось по крайней мере 2 конфеты»; «кому-то досталось по крайней мере 3 конфеты»; «двум людям досталось по крайней мере две конфеты»; «каждому досталась хотя бы одна конфета». За победу в турнире Архимеда команда из 8 человек получила 12 конфет. Дети поделили конфеты между собой, не разламывая их. Определите, верны ли следующие утверждения: «кому-то досталось по крайней мере 2 конфеты»; «кому-то досталось по крайней мере 3 конфеты»; «двум людям досталось по крайней мере две конфеты»; «каждому досталась хотя бы одна конфета». Ответ Ответ Ответ

Задача 7. На планете Земля океан занимает больше половины площади поверхности. Докажите, что в мировом океане можно указать две диаметрально противоположные точки.. На планете Земля океан занимает больше половины площади поверхности. Докажите, что в мировом океане можно указать две диаметрально противоположные точки. Ответ Ответ Ответ

Решение а) Указание: примените принцип Дирихле, считая, что, "клетки" это школьники, а "кролики" это конфеты. б) Не обязательно: например, все семь конфет мог съесть один школьник.

Решение Да, найдется: всего месяцев 12, а учеников 15 ) 12. Здесь "кролики" это ученики, а "клетки" это месяцы. Да, найдется: всего месяцев 12, а учеников 15 ) 12. Здесь "кролики" это ученики, а "клетки" это месяцы.

Решение Разрежем ковер тремя вертикальными и тремя горизонтальными разрезами на 16 одинаковых ковриков размером 1 х 1 метр. Поскольку 16 > 15, то один из ковриков будет без дыр. Разрежем ковер тремя вертикальными и тремя горизонтальными разрезами на 16 одинаковых ковриков размером 1 х 1 метр. Поскольку 16 > 15, то один из ковриков будет без дыр.

Решение Предположим, что возможен случай, когда такие два игрока не найдутся. Тогда все пять игроков забили разное количество мячей. Пусть первый игрок ничего не забил, второй игрок забил один мяч, третий игрок забил два мяча, четвёртый три, пятый четыре. Тогда всего игроки забили десять мячей. Если же кто-то из игроков забил больше мячей, чем мы предположили, то и всего игроки забили больше мячей. Поскольку по условию игроки забили всего девять мячей, наше предположение неверно. Значит, существуют два игрока команды, забившие поровну мячей. Предположим, что возможен случай, когда такие два игрока не найдутся. Тогда все пять игроков забили разное количество мячей. Пусть первый игрок ничего не забил, второй игрок забил один мяч, третий игрок забил два мяча, четвёртый три, пятый четыре. Тогда всего игроки забили десять мячей. Если же кто-то из игроков забил больше мячей, чем мы предположили, то и всего игроки забили больше мячей. Поскольку по условию игроки забили всего девять мячей, наше предположение неверно. Значит, существуют два игрока команды, забившие поровну мячей.

Решение На голове может быть 0, 1, …, волос всего вариант. Каждого москвича отнесём к одной из групп в зависимости от количества волос. Если 34 москвича с одинаковым количеством волос не найдутся, то это значит, что в любую из созданных групп входит не более 33 человек. Тогда всего в Москве живёт не более 33· = < человек, что противоречит условию. Значит, такие 34 москвича обязательно найдутся. На голове может быть 0, 1, …, волос всего вариант. Каждого москвича отнесём к одной из групп в зависимости от количества волос. Если 34 москвича с одинаковым количеством волос не найдутся, то это значит, что в любую из созданных групп входит не более 33 человек. Тогда всего в Москве живёт не более 33· = < человек, что противоречит условию. Значит, такие 34 москвича обязательно найдутся. На список

Решение Первое утверждение верно, все остальные нет. Первое утверждение верно, все остальные нет.

Решение Отразим океан симметрично относительно центра Земли. Поскольку сумма площадей океана и его образа превышает площадь земной поверхности, то существует точка, принадлежащая океану и его образу. Возьмем эту точку вместе с противоположной к ней. Отразим океан симметрично относительно центра Земли. Поскольку сумма площадей океана и его образа превышает площадь земной поверхности, то существует точка, принадлежащая океану и его образу. Возьмем эту точку вместе с противоположной к ней.