Курс лекций по теоретической механике Динамика (II часть) Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки. Завершение – Esc. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

Лекция 17. Лекция 17 Элементарная теория удара. Общие теоремы теории удара. Удар тела о неподвижную преграду. Случай косого удара. Гидравлический удар в трубах. Прямой центральный удар двух тел.

32 Лекция 17 Элементарная теория удара. Удар – явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек изменяются на конечную величину. Ударные силы - силы взаимодействия при соударении тел (удар молота, столкновения экипажей). Время удара – очень малый промежуток времени, в течении которого происходит удар (контакт соударяющихся поверхностей). В силу этого ударные силы могут достигать очень больших значений, при которых возможно изменение скоростей точек на конечную величину. Соотношение между конечным изменением скорости и величиной ударной силы определяется теоремой об изменении количества движения: Здесь - импульс ударной силы. - основное уравнение удара. Импульс ударной силы является конечной величиной не смотря на то, что интегрирование должно выполняться практически на бесконечно малом интервале времени (времени удара). Точный закон изменения ударной силы в течении времени удара, как впрочем и само время удара, как правило, остаются неизвестным и интеграл заменяется произведением некоторого среднего значения силы на время удара: В силу того, что ударные силы много больше по величине других сил (неударных), последними пренебрегают. В силу малости времени удара, возникающие перемещения точек во время удара (v ср При рассмотрении механической системы во время удара из всех теорем динамики используется лишь теорема об изменении количества движения системы и для вращающейся системы ее аналог – теорема об изменении момента количества движения системы В проекции, например, на ось x В проекции, например, на ось z (относительно оси z) Теорема об изменении кинетической энергии использоваться практически не может, поскольку перемещениями во время удара пренебрегается и работа ударных сил не может быть вычислена. Удар шара о неподвижную поверхность – Рассматривается поступательное движение шара массой m со скоростью v перпендикулярно неподвижной массивной поверхности (преграде) – прямой удар. Например, шар падает с высоты h 0 и ударяется о горизонтальную поверхность со скоростью v. h0h0 2.Переход потенциальной энергии в кинетическую при восстановлении первоначальной формы тела за счет упругих сил. Из-за наличия остаточных (пластических) деформаций и нагрева тела кинетическая энергия полностью не восстанавливается и скорость u отделения шара от поверхности будет меньше, чем скорость до удара (u < v). h1h1 Различают две стадии (фазы) удара: 1. Переход кинетической энергии движения в потенциальную энергию деформации. При этом скорость падает до нуля, часть энергии расходуется на нагрев тела. Отношение модуля скорости шара в конце удара к модулю его скорости в начале удара – коэффициент восстановления при ударе : Коэффициент восстановления можно определить опытным путем:

Лекция 17 ( продолжение – 17.2 ) 3 Коэффициент восстановления может изменяться от 0 до 1. При k = 0 – абсолютно неупругий удар (шар не отскакивает от преграды), при k =1 – абсолютно упругий удар (нет потери энергии при деформации, нет нагрева). Реальные материалы всегда имеют такие потери энергии и коэффициент восстановления даже для достаточно упругих материалов лишь приближается в той или иной степени к единице. Кроме того коэффициент восстановления зависит от скорости, при которой происходит удар (k = k(v)). Поэтому сравнение значений коэффициентов восстановления должно выполняться при одной и той же скорости. Например, при скорости v = 3 м/с: стекло – k = 0.94; кость – k = 0.89;сталь – k = 0.56; дерево – k = Можно показать, что коэффициент восстановления определяет так же соотношение между импульсами ударной силы в двух фазах: Основное уравнение удара для первой фазы: для второй фазы: Отсюда, импульс второй фазы и суммарный импульс ударной силы в двух фазах зависят от коэффициента восстановления: Рассмотрим теперь поступательное движение шара массой m со скоростью v, составляющей некоторый угол (угол падения) к нормали неподвижной массивной поверхности (преграде) – косой удар. Запишем основное уравнение удара: Спроецируем на нормаль и касательную к поверхности: n β Коэффициент восстановления: Поскольку коэффициент восстановления k < 1, то угол отражения больше угла падения. Угол отражения равен углу падения только в случае абсолютно упругого удара (k = 1). Модуль скорости после удара: При очень больших углах падения, близких к прямому углу, скорость после удара приближается к скорости до удара (u v). Импульс ударной силы: При очень больших углах падения, близких к прямому углу, импульс ударной силы приближается к нулю (S 0). На этих свойствах, связанных с большими углами падения, основывается эффект запуска блинчиков метанием плоских камней (голышей) под острым углом к водной поверхности.

Лекция 17 ( продолжение – 17.3 ) 34 Гидравлический удар в трубах – при резком закрывании задвижки в магистральных трубопроводах может произойти ударное воздействие на элемент запирающего устройства и саму трубу (резко возрастает давление в системе). Рассмотрим трубу длиной L, по которой движется жидкость под некоторым давлением. L Пусть в некоторый момент поток резко перекрывается опусканием задвижки. Запишем теорему об изменении количества движения для объема жидкости, находящейся под давлением в трубе: Спроецируем уравнение на ось x, совпадающей с осью трубы: Здесь p – разность давлений, A – площадь поперечного сечения потока, t – время, за которое ударная волна пройдет расстояние L. Характер изменения ударной силы (разности давления) неизвестен. Ударный импульс заменим произведением средней разности давлений на площадь поперечного сечения потока и время импульса: Количество движения жидкости в начальный и конечный моменты: Подставим эти выражения в уравнение разности проекций количеств движения: Здесь с – скорость распространения ударной волны. Знак минус означает, что R B > R A и его можно далее опустить. С использованием коэффициента объемного веса получаем формулу Жуковского: Таким образом, повышение давления не зависит от длины трубы и пропорционально скорости течения жидкости. Скорость распространения ударной волны в жидкости: Поскольку при гидравлическом ударе происходит также деформация трубы, влияющая на изменение плотности жидкости Жуковским была получена формула для скорости распространения волны с учетом этого: Здесь E – модуль упругости воды кгс/см2. Здесь E м – модуль материала трубы, d – диаметр трубы, б – толщина стенки трубы. Следовательно, гидравлический удар зависит от скорости и будет сильнее в трубах малого диаметра и трубах, изготовленных из материалов с более высоким модулем упругости (например, модуль упругости стали почти в два раз больше модуля упругости меди).

Лекция 17 ( продолжение – 17.4, дополнительный материал ) 35 Прямой центральный удар двух тел – Рассмотрим соударение двух движущихся тел со скоростями v 1 и v 2 (v 1 > v 2 ) массами M 1 и M 2. 1.В первой фазе удара ударная сила взаимодействия возрастает от нуля до максимального значения (деформация нарастает до момента выравнивания скоростей). Проекция на горизонтальную ось теоремы об изменении количества движения для всей системы дает: M1M1 M2M2 Для определения величины механического взаимодействия (импульса) составим такое же уравнение для одного тела, например, 1: Заметим, что разность скоростей представляет собой относительную скорость (скорость сближения) и поскольку v 2 < v 1, то ударный импульс, приложенный к телу 1, будет направлен в сторону, противоположную движению этих тел. Аналогично можно определить импульс, приложенный к телу 2, но быстрее и проще воспользоваться законом действия и противодействия: 2.Во второй фазе удара ударная сила взаимодействия уменьшается от максимального значения до нуля (упругие деформации восстанавливают полностью и частично форму тел и потенциальная энергия деформации переходит в кинетическую до отделения тел друг от друга). Проекция на горизонтальную ось теоремы об изменении количества движения для одного из тел, например, 1, дает : С использованием коэффициента восстановления можно записать: Поделим это уравнение на уравнение в красной рамке: Подставим выражение для скорости u: Заметим, что разность скоростей (v 2 - v 1 ) опять представляет собой относительную скорость (скорость сближения) и поскольку v 2 < v 1, то скорость тела 1 уменьшается и это уменьшение пропорционально массе тела 2 и относительной скорости. Аналогично можно определить скорость тела 2: Здесь скорость тела 2 увеличивается и это увеличение пропорционально массе тела 1. Замечания: 1. В частном случае равенства масс (M 1 = M 2 ) и абсолютно упругого удара (k =1) скорость тела 1 после удара будет равна скорости тела 2 до удара и наоборот. Т.е. если тело 2, например, как при игре в биллиард, покоилось, то после удара телом 1 тело 2 получит скорость тела 1, а тело 1 остановится. 2. Проверить полученные соотношения можно подставив их в закон сохранения количества движения: 3. Отношения модулей относительных скоростей до и после удара определяют коэффициент восстановления (или наоборот). Для этого подставим вычтем выражение для скорости u 1 (в синей рамке) из аналогичного ему выражение для скорости u 2 : Добавили два одинаковых слагаемых с противоположными знаками для получения еще одной разности скоростей. Определим модуль ударного импульса, приложенного к каждому телу за весь период упругого удара (за две фазы): Используем выражение, полученное для импульса первой фазы:

36 Автор благодарит вас, уважаемые студенты, за то, что вы воспользовались этим материалом для подготовки к экзаменам по рассмотренным разделам теоретической механики. Если представленный материал поможет молодым преподавателям теоретической механики подготовиться к чтению лекций или послужит основой для разработки собственного курса лекций, то автор будет только рад. Успеха всем! Об авторе Список трудов