Двойной интеграл Замена переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах 1/13.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
3. Замена переменных в двойном интеграле Пусть (σ) – замкнутая квадрируемая область в плоскости xOy, f(x,y) – ограничена и непрерывна в области (σ) всюду,
Advertisements

Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Замена переменной, интегрирование по частям в определенном интеграле.
{ двойной интеграл – двукратный интеграл - пример – замена переменной в двойном интеграле – якобиан преобразования – вычисление двойного интеграла в полярной.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Двойной интеграл (замена переменных, приложения)
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Тройной интеграл.
Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к.
Выполнила : студ. Гр. 2 У 00 Крутова Н. П. Проверила : Тарбокова Татьяна Васильевна.
§2. Тройной интеграл 1. Задача, приводящая к понятию тройного интеграла.
Двойные интегралы Лекция 7. Цилиндрический брус Назовём цилиндрическим брусом, или цилиндроидом, тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью z=f(x,y)
Тройной интеграл Лекция 9. Трехмерная область Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью G. Пусть в области.
Определенный интеграл продолжение. План лекции: I.Замена переменной в определенном интеграле. II.Приложения определенного интеграла. III.Функции нескольких.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Двойной интеграл (определение, свойства, вычисление)
§6. Поверхностный интеграл II рода (по координатам) 1. Односторонние и двусторонние поверхности Пусть (S) – гладкая поверхность в пространстве Oxyz, M.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Определение функции нескольких переменных Геометрическое изображение функции двух переменных Частное и полное приращение.
§3. Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги) 1. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла I рода.
Геометрические приложения двойного интеграла Лекция 8.
План лекции: 1. Методы интегрирования(продолжение) 2. Определенный интеграл.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Определение ФНП. Предел и непрерывность ФНП. Частные производные.
1 Неопределённый интеграл 1 Неопределённый интеграл Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) в промежутке a < x < b, если в любой точке.
Транксрипт:

Двойной интеграл Замена переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах 1/13

Замена переменных в двойном интеграле Заменим переменные x и y : Если функции x и y имеют в некоторой области D* плоскости 0uv непрерывные частные производные и не равный нулю определитель: а функция f(x, y) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменной в двойном интеграле: определитель Якоби (якобиан) Пусть в замкнутой области D плоскости XOY задана непрерывная функция z = f(x, y). 2/13

Замена переменных в двойном интеграле Вычислить двойной интеграл если область D ограничена линиями: xy = 1; xy = 2; y = x; y = 3x. x y 0 D y = 1/x y = 2/x y = x y = 3x Сделаем замену переменных: 3/13

Найдем уравнения линий, ограничивающих область D* Замена переменных в двойном интеграле 4/13

Выразим переменные x и y через u и v. Найдем частные производные от получившихся функций: Замена переменных в двойном интеграле 5/13

Найдем якобиан преобразования: Замена переменных в двойном интеграле 6/13

u v D* Построим область D*. Расставим пределы интегрирования, пользуясь формулой (1): Вычислим двукратный интеграл: Замена переменных в двойном интеграле 7/13

Двойной интеграл в полярных координатах Рассмотрим частный случай замены переменных: замену декартовых координат x и y полярными координатами r и φ. В качестве u и v возьмем полярные координаты r и φ. Они связаны с декартовыми координатами формулами: Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования равен: 8/13

Формула замены переменных принимает вид: Двойной интеграл в полярных координатах Область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат Пусть область D* задана линиями в полярной системе координат: Лучами α β D*D* r = r 2 (φ ) r = r 1 (φ ) Кривыми Такая область называется правильной областью в полярной системе координат: луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в двух точках. r0 9/13

Расставим пределы интегрирования: Внутренний интеграл здесь берется при постоянном φ. Двойной интеграл в полярных координатах α β D*D* r = r 2 (φ ) r = r 1 (φ ) r0 10/13

Замечания 1 2 Переход к полярным координатам целесообразен, когда подынтегральная функция имеет вид f(x 2 +y 2 ) ; область D есть круг, кольцо или части таковых. На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены Двойной интеграл в полярных координатах Уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют, а совмещают декартовы и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по r и φ. 3 11/13

Вычислить Перейдем к полярным координатам: Двойной интеграл в полярных координатах Изобразим область D в декартовой системе координат. x y 0 3 D 12/13

x y 0 3 D В полярной системе координат эта область будет определяться неравенствами: r = 3 φ Двойной интеграл в полярных координатах π2π 13/13