1 Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции Пусть f(x) – функция, определенная на множестве Х; А и а –числа. Опр. Число А называется пределом функции f(x) при x a, если >0 такая -окрестность точки а U (a), что | f(x) -A|< x U (a). Эквивалентные формы записи: или f(x) А при x a. Опр., если >0 = ( ): | f(x) -A|.

2 Замечания: 1.Функция может быть меньше своего предела. 2.Функция может быть больше своего предела. 3.Функция может колебаться вокруг своего предела.

3 Бесконечно малые и бесконечно большие функции (БМФ и ББФ) Опр. Функция f(x) называется бесконечно малой при x a, если >0 U (a), что |f(x)|< при x U (a) или Опр. Функция f(x) называется бесконечно большой при x a, если >0 U (a), что |f(x)|> при x U (a) или

4 Лемма (связь БМФ и ББФ). Теорема (свойства БМФ). 1.Алгебраическая сумма (+ и -) конечного числа б.м. функций при x a есть б.м. функция при x a. 2.Произведение б.м. функций при x a есть б.м. функция при x a.

5 2. Свойства пределов Теорема 1. Число A является пределом функции f(x) при x a, тогда и только тогда, когда функция f(x)-A является бесконечно малой: Теорема 2. Предел постоянной функции f(x) C при x a равен самой постоянной:

6 Свойства пределов (продолжение) Теорема 3. Если каждое слагаемое алгебр. суммы конечного числа функций имеет предел при x a, то предел этой суммы при x a и равен сумме пределов слагаемых: Теорема 4. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при x a, то предел произведения при x a и равен произведению пределов сомножителей:

7 Свойства пределов (продолжение) Теорема 5. Предел частного равен частному пределов: Теорема 6. Если функция f(x) имеет предел при x a и Теорема 7. Если f(x) – элементарная («школьная») функция и число a принадлежит ее области определения, то предел вычисляется прямой подстановкой:

8 Следствия Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: Следствие 2. Если функция f(x) имеет предел при x a, то предел при x a целой положительной степени n ее равен такой же степени предела этой функции:

9 Следствия (продолжение) Следствие 3. Если функция f(x) имеет предел при x a, отличный от 0, то предел при x a обратной ей по величине функции равен обратной величине предела данной функции:

10 3. «Замечательные» пределы Замечание. Не всякая функция имеет предел (даже ограниченная). Пример: Теорема 1. (1-й замечательный предел) Теорема 2. (2-й замечательный предел)

11 4. Раскрытие неопределенностей Опр. Случаи, в которых подстановка предельного значения в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями. Они бывают следующих типов: Устранить неопределенности часто удается с помощью алгебраических преобразований.

12 1-й тип В числителе и знаменателе сложные степенные или показательные функции. Для степенных функций – вынести за скобку в числителе и знаменателе дроби х с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби; для показательных функций – за скобку выносится наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех слагаемых дроби. После сокращения дроби неопределенность устраняется.

13 2-й тип а) многочлены Необходимо разложить на множители и числитель, и знаменатель дроби, исходя из того, что, если a – корень многочлена P(x), то P(x) делится на (x-a). Часто помогают «формулы сокращенного умножения». После сокращения дроби неопределенность устраняется.

14 2-й тип б) тригонометрические Необходимо упростить выражение, чтобы свести к 1-му замечательному пределу

15 3-й тип Если функция представляет собой алгебраическую сумму дробей, то неопределенность устраняется или приводится ко 2-му типу после приведения дробей к общему знаменателю. Если функция представляет собой алгебраическую сумму иррациональных выражений (корней), то неопределенность устраняется или приводится к 1-му типу путем домножения и деления функции на одно и то же (сопряженное) выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.

16 4-й тип Сводить ко 2-му замечательному пределу