Модификации «универсальных решений» интервальной системы линейных уравнений Зоркальцев Валерий Иванович, проф., д.т.н., Заведующий лабораторией «Методов математического моделирования и оптимизации в энергетике» Института систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, г. Иркутск

2 Составляющие Интервального анализа 1.Аппарат для описания погрешностей данных (исходных, при вычислениях). 2.Инструмент для описания моделей принятия решений в условиях неопределенности (С.П. Шарый, Д.В. Давыдов). 3.Инструмент для повышения эффективности математических моделей и задач вычисли- тельной математики.

3 Общая постановка рассматриваемых задач Принимаемые решения (эндогенные показатели) на временном этапе Реализация экзогенных (априори неопределенных) условий на временном этапе множество вариантов для выбора решения область значений неопределенных показателей

4 Процесс сужения исходной области выбора решения Одноэтапный процесс область допустимых сочетаний и Двухэтапный процесс область допустимых сочетаний

5 Некоторые критерии принятия решения в условиях неопределенности минимизируемая функция 1. Математическое ожидание (в т.ч. критерий Лапласса) 2. Критерий Вальда 3. Критерий Гурвица 4. Байесовский критерий

6 Две области приложения интервального анализа в моделях принятия решений в условиях неопределенности 1. Инструментарий для описания области выбора решений в многоэтапных процессах принятия решений (Шарый С.П. Докторская диссертация «Интервальные алгебраические задачи и их численные решения», 2002 г.) 2. Способ описания критериев оптимизации решений в условиях неопределенности (Ащепков Л.Т., Давы- дов Д.В. «Универсальные решения интервальных задач оптимизации и управления». – М.: Наука, 2006 г.; докторская диссертация Давыдова Д.В., 2009 г.)

7 «Универсальные» решения Ащепкова-Давыдова желаемый уровень показателя, фактическое значение Такая постановка тесно связана: 1) с проблематикой многокритериальности; 2) с регуляризацией некорректных задач; 3) с критерием Вальда

8 Универсальные решения интервальной системы линейных уравнений Исходная система (недоопределенная задача) (1) где матрица, вектор из (2) Доопределение: решением системы (1) предлагается считать такой вектор х, при котором достигается решение задачи (3) (4) при всех А, b, удовлетворяющих (2).

9 Предлагаемые модификации I. В описании интервалов возможных отклонений Вместо интервала предлагается ввести интервал при Вектор х назовем d, g решением ИСЛАУ (1), если (5) при любых А и b, удовлетворяющих (2). Такое представление сужает интервал возможных отклонений.

10 Предлагаемые модификации II. В способах определения минимальных интервалов Класс штрафных функций F, состоящий из непрерыв- ных функций f от двух векторов из таких, что при (6) (7) выполняется неравенство (8) Примеры: при заданных

11 Модифицированное универсальное решение, порождаемое функцией f из F Так назовем тройку векторов являю- щихся решением задачи (9) при ограничениях (10) (11) для всех А и b, удовлетворяющих (2). Теорема 1. Для любого существует Если f строго выпуклая функция по обоим ар- гументам, то единственные.

12 Парето-оптимальные решения Многокритериальная задача: (12) при ограничениях (10), (11) Теорема 2. Множество Парето-оптимальных решений многокритериальной проблемы (12) совпадает с множеством модифицированных универсальных решений, порождаемых функциями f из F.

13 Замыкание множества модифици- рованных универсальных решений Теорема 3. Замыкание множества модифицированных универсальных решений при для разных совпадает с мно- жеством Парето-оптимальных решений. Вывод: Старый друг (метод наименьших квадратов) – не хуже новых двух. Любое модифицированное универсальное решение можно получить на базе метода наименьших квадратов за счет подбора весовых коэффициентов

14 Выводы Приведенный и другие факты являются переложе- нием на проблематику универсальных решений ИСЛАУ результатов исследований свойств наименее удаленных от начала координат точек линейных многообразий и полиэдров (в т.ч. ортоэдрических, евклидовых, гёльбертовых, чебышевских проекций). Зоркальцев В.И. Метод наименьших квадратов: геометрические свойства, альтернативные подходы, приложения. – Новосибирск: Наука, 1995 г.

15 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!