МАТЮХИНА ИРИНА АЛЕКСАНДРОВНА УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ МБОУ СОШ 29 С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ Г.СТАВРОПОЛЯ

§48. ПЕРВООБРАЗНАЯ §49. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и интеграл

Математика изучает различные связи между величинами. Важнейшие примеры таких связей дает механическое движение. Рассмотрим движение материальной точки по оси. Между положением (координатой) точки и ее скоростью есть известная связь, лежащая в основе математического анализа: скорость является производной от координаты по времени. Сама операция нахождения производной называется дифференцированием. Обратная задача – нахождение положения точки по ее скорости – решается с помощью другой математической операции, называемой интегрированием. Первообразная

Задачи, решаемые с помощью операции нахождения производной: 1) скорость движения ; 2) угловой коэффициент касательной к графику функции; 3)с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; 4)производная помогает решать задачи на оптимизацию. Линейная плотность тонкого стержня есть производная его массы по длине, мощность есть производная работы по времени, сила тока есть производная заряда по времени и т.д. С помощью обратной операции мы будем решать обратные задачи…

Величина v 0 t представляет собой площадь прямоугольника, ограниченного графиком скорости, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми. Т.е. путь точки можно вычислить как площадь под графиком скорости. Пусть точка движется с постоянной скоростью v=v 0. Графиком скорости в системе координат (t;v) будет прямая, параллельная оси времени. v0v0 0 х у t 0 =0, S = 0 t S =v 0 t Первообразная

v0v0 0 х у Первообразная tt+Δtt+Δt v 0 х у t v0v0 Равноускоренное движение Неравномерное движение Таким образом задача интегрирования тесно связана с задачей вычисления площади. Интегрирование является операцией обратной дифференцированию. То есть сводится к нахождению функции производная которой равна заданной функции.

Первообразная Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти закон движения. Решение: Пусть s = s(t) – искомый закон движения. Известно, что s`(t)=v(t). Отсюда следует, что s(t)=0,5 gt 2. Однако, s(t)=0,5 gt 2, не единственное решение. Чтобы задача стала более определенной, надо зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-нибудь момент времени.

Первообразная или первичный образ Определение: Функцию у = F(x) называют первообразной для функции у = f(x) на промежутке Х, если для х Є Х выполняется равенство F`(x)= f(x). При нахождении первообразных используются формулы и правила. Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных Правило 2. Если F(x) –первообразная для f(x), то kF(x) – первообразная для kf(x).

Первообразная Первообразной для функции 1 x cлужит ln|x|.

Первообразная Докажите, что функция у = F(x) является первообразной для функции у = f(x), если: а) F(x) = х 2 +х 3, f(x) = 2х+3х 2. Решение: F(x) = х 2 +х 3, D(F)=R, f(x) = 2х+3х 2, D(f)=R. F`(x) = (х 2 +х 3 )`= (х 2 )`+(х 3 )`= 2х+3х 2 =f(х). б) F(x) = х 4 - х 11, f(x) = 4х х (а,б).

Первообразная Получим еще одно правило нахождения первообразных. Мы знаем, что производная функции у = f(kx+m) вычисляется по формуле (f(kx+m) )` = kf`(kx + m). Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных. Теорема 1. Если у = F(x) – первообразная для функции у=f(x), то первообразной для функции у=f(kx+m) служит функция у=1/k F(kx+m). Теорема 2. Если у = F(x) – первообразная для функции у=f(x) на промежутке Х, то у функции у=f(x) бесконечно много первообразных, и все они имеют вид у = F(x) +С.

Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задача 1. (о вычислении площади криволинейной трапеции) у 0 аbх x 1 x 2 x n-1

Определенный интеграл у 0 аbх x 1 x 2 x n-1 Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков: для k –того имеем S k = f(x k )·Δx k.

Определенный интеграл у 0 аbх x 1 x 2 x n-1 По определению полагают, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (S n ) S= Lim S n n

Определенный интеграл Задача 2. (о вычислении массы стержня) Дан прямолинейный неоднородный стержень [a;b], плотность в точке х вычисляется по формуле ρ=ρ(х). Найти массу стержня. x 1 x 2 x n-1 a b m= Lim S n n Решение: Масса однородного тела вычисляется по формуле m= ρV. Для неоднородного стержня разобьем отрезок [a;b] на n равных частей. Плотность в точке х к и в промежутке [x k ;x k+1 ] постоянна ρ=ρ(х к ). Масса этого участка m k = ρ(x k )·Δx k.

Определенный интеграл Задача 3. (о перемещении точки) По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v=v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [a;b]. S= Lim S n n Решение: В случае равномерного движения S= Vt. Для неравномерного движения разобьем отрезок [a;b] на n равных частей и используем те же идеи, что и в предыдущих задачах. Скорость в точке х к и в промежутке времени Δt=[x k ;x k+1 ] постоянна v=v(х к ). Путь на этом участке S k = v(x k )·Δt.

Подведем итоги: Решение трех различных задач из различных областей науки и техники приводится к одной и той же математической модели. Данную математическую модель надо изучить, т.е.: 1)присвоить ей новый термин; 2)ввести для нее обозначение; 3)научиться с ней работать. Определенный интеграл