1 Институт математических машин и систем НАН Украины МЕХАНИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ТЕОРИЯ ГРАФОВ к.т.н., с.н.с. Волобоев В.П., д.ф-м.н., профессор Клименко В.П.

2 Состояние вопроса в области расчета стержневых систем Стержневая система – это сооружение, составленное из стержней, т.е. из таких элементов, у которых один размер (длина) превышает два других. Анализ современного состояния расчетов стержневых систем [Ржаныцин А.Р, Розин Л.А., Cook Robert D. и др.] показал: 1.Ручные методы. Большое разнообразие. Строительной механике более 200 лет. 2.Машинные методы. Методы составления математической модели стержневой системы не обеспечивают составление корректной математической модели стержневой системы. Количество уравнений может быть кол-ва переменных. Существует проблема получения достоверных результатов (неустойчивость решения плохообусловленной системы уравнений).

3 Корректная формулировка математической модели технической (физической) задачи (состояние вопроса) Классическое утверждение Ж. Адамара (принцип Адамара) «Аналитическая задача всегда корректно поставлена в смысле существования и единственности решения, непрерывной зависимости от данных задачи, когда есть механическое или физическое истолкование вопроса». На современном этапе возобладало мнение о том, что положение Адамара – ошибочно. Математические методы применяются для решения некорректных задач и плохообусловленных систем уравнений.

4 В настоящее время имеется решение задачи, подтверждающей принцип Адамара: расчет линейной электрической цепи. Оказывается, можно корректно сформулировать задачу на этапе составления математической модели. Корректно сформулированная математическая модель электрической цепи имеет устойчивое решение плохообусловленной СЛАУ. Цель данной работы: разработать метод корректной формулировки математической модели стержневой системы. Из основных задач анализа кинематики и статики стержневых систем будет рассмотрена задача определения положения равновесия самой системы и внутренних сил в ее элементах.

55 Сравнительные таблицы методов расчета 1. Форма представления уравнений, описывающих элементы стержневой системы и электрической цепи Общий подход Механика стержневых системТеория электрических цепей 1. Геометрическое уравнение элемента, где - узловые перемещения, - деформация элемента. Физическое уравнение, где - внутренняя сила на узлах элемента, - матрица жесткости (зависимость внутренних сил от деформации). 1. Функциональная зависимость компоненты - общий вид уравнения компоненты, где - параметры, - токи и - напряжения, входящие в уравнения. Эквивалентная схема замещения элемента состоит из двухполюсных компонент.

6 Механика стержневых систем Теория электрических цепей 2. Метод конечных элементов (машинный вариант)., где - матрица жесткости (зависимость внутренних сил узлов компоненты от узловых перемещений). 2.Машинный вариант. Функциональная зависимость компонента описывает связь между напряжением, падающем на компоненте, и током, протекающем через компоненту. - функциональная зависимость линейной компоненты. - проводимость

7 2. Графическое представление стержневой системы и электрической цепи Механика стержневых систем Теория электрических цепей Расчетная схема стержневой системы. Содержит многополюсные элементы. Узлы, соединяющие стержни, разделяются на шарнирные и жесткие. Описание расчетной схемы: матрица инциденций А. Граф электрической цепи. Содержит двухполюсные элементы (компоненты). Описание графа электрической цепи: 1. Матрица инциденций А. 2. Матрица контуров В, 3. Матрица сечений Q,

88 3. Законы составления математической модели стержневой системы и электрической цепи Механика стержневых системТеория электрических цепей Уравнение равновесия в узле. Сумма внутренних и внешних сил в узле равна нулю Уравнения равновесия расчетной схемы Законы Кирхгофа в матричном виде. 1.Сумма токов в узле равна нулю 1.1., - вектор токов компонент Сумма напряжений в контуре равна нулю

99 4.Формализованное представление описания математической модели стержневой системы и электрической цепи Механика стержневых системТеория электрических цепей Метод узловых перемещений 1. Общий подход 2.Метод конечных элементов 1. Метод узловых напряжений где - вектор источников тока в электрической цепи, - вектор узловых напряжений электрической цепи. 2.Метод напряжений компонент дерева

10 Выводы: для реализации корректной формулировки математической модели стержневой системы расчетная схема должна удовлетворять следующим требованиям. Этап подготовки расчетной схемы стержневой системы: Элементы расчетных схем должны быть представлены эквивалентными схемами замещения объектов стержневых систем, состоящими из двухполюсных компонент. Функциональные зависимости компонент должны отображать связь перемещений компонент с внутренними усилиями, прикладываемым к компонентам. Расчетная схема стержневой системы должна быть представлена графом эквивалентной схемы замещения стержневой системы.

11 Этап составления математической модели стержневой системы Выбор дерева графа составляемой математической модели. При выборе учитывать особенности конкретной расчетной схемы. Сформулировать основную систему уравнений, описывающих стержневую систему. Выбрать независимые переменные. Преобразовать основную систему для выбранных независимых переменных.

12 Определения, характеризирующие компонентные уравнения двухполюсников и типы компонент, применяемые при составлении математической модели стержневой системы. Общий вид компонентного уравнения двухполюсника - внутреннее усилие, приложенное к - ой компоненте, - перемещение, приложенное к - ой компоненте, 1., - собственная жесткость 2. - источник внутреннего усилия 3. - источник перемещения Основные элементы расчетной схемы стержневой системы: опоры, стержни, связи, условное представление нагрузок и других воздействий.

13 в) подвижная опора по направлению координатной оси или с приложенной внешней силой или а) неподвижная опора; б) неподвижная опора со смещением: 13 Типы опор и внешних воздействий и их эквивалентные схемы.. Общий узел U - источник смещения (перемещения) - источник внешнего воздействия по координате x - источник внешнего воздействия по координате y

14 Эквивалентные схемы замещения воздействия, приложенного к опоре в локальной системе координат Вариант 1 Вариант 2 Внешние воздействия, приложенные к опоре в локальной системе координат Эквивалентные схемы замещения воздействий в глобальной системе

15 L - длина, A - поперечное сечение, I – момент инерции площади поперечного сечения, E – модуль упругости стержня,,,, - узловые перемещения концов стержня,,,, - внутренние усилия, действующее на концах стержня, в локальной и глобальной системах координат,, - углы изгиба узлов стержня,, - крутящие моменты узлов стержня. Связь внутренних усилий, действующих на концах стержня, с узловыми перемещениями концов стержня в локальной системе координат где, Связь математического описания стержня в локальной и глобальной системах координат

16 Переход к глобальной системе координат - матрица направляющих косинусов для узлов и ….. где, Откуда - матрица жесткости в глобальной системе координат.

17 Построение эквивалентной схемы замещения стержня с жесткими соединениями Исходные данные: 1. - матрица жесткости и - матрица направляющих косинусов в локальной системе координат Перемещения j – узла представлены как

18 Матрица жесткости стержня в глобальной системе координат матрица жесткости стержня преобразуется к виду

19,,,,,,, - перемещения, внутренние усилия, угловые сдвиги и моменты инерции компонент в глобальной системе координат Эквивалентная схема замещения стержня с жесткими соединениями

20 Эквивалентная схема замещения стержня с комбинированными соединениями (узел – жесткий, узел – шарнирный) матрица жесткости в локальной системе координат имеет вид,

21 Эквивалентная схема замещения стержня с шарнирными соединениями

22 Граф эквивалентной схемы замещения стержневой системы. Новые возможности: 1. Для записи уравнений равновесия применяются: -матрица инциденций; - матрица сечений. 2. Матрица контуров – для записи аналога второго закона Кирхгофа. Если перемещение совершается по замкнутому контуру, то суммарное перемещение компонент при возвращении в исходную точку будет равно нулю. В противном случае путем обхода контура можно было бы получать положительную энергию и тем самым нарушая закон ее сохранения. 3. Целенаправленний выбор дерева графа эквивалентной схемы стержневой системы.

23 Формулировка математической модели стержневой системы, представленной графом. Основная система уравнений, описыающих эквивалентную схему замещения стержневой системы включает: 1.Компонентные уравнения двухполюсников эквивалентной схемы: - аналог независимого/зависимого резистора; - зависимый/независимый источник усилия; - зависимый/независимый источник перемещения; 2. Уравнения равновесия усилий в сечениях:. 3. Уравнения равновесия перемещений в контурах:.

24 Преобразование основной системы уравнений 1.Выбор дерева графа: -независимые и зависимые источники смещения выбираются в дерево; -независимые и зависимые источники усилий выбираются в хорды; -собственная жесткость резистивных компонент дерева больше собственной жесткости компонент хорд.

25 Уравнения равновесия основной системы Уравнения равновесия перемещений в контурах Уравнения равновесия усилий в сечениях

26 Компонентные уравнения двухполюсников эквивалентной схемы - независимые источники перемещения, - зависимые источники перемещения, - перемещениеуправляемые компоненты дерева, - углоуправляемые компоненты, дерева, - перемещениеуправляемые компоненты – хорды, - углоуправляемые копоненты - хорды, - источники усилий, зависимые от источников перемещений, - независимые источники усилий, - независимые источники крутящих моментов.,

27 Результаты преобразования основной системы уравнений В качестве переменных выбраны перемещения и углы изгиба компонент дерева Порядок системы линейных алгебраический уравнений - количество ветвей входящих в дерево графа, - количество независимых источников напряжения.

28 Расчетная схема стержневой конструкции 1 Lecture_Notes.pdf (избыточность уравнений) Lecture_Notes.pdf

29 Эквивалентная схема строительной конструкции 1 Уравнения равновесия перемещений Уравнения равновесия усилий

30 Компонентные Решение уравнения

31 Расчетная схема стержневой конструкции 2 Розин Л.А. Метод конечных элементов //Соросовский образовательный журнал, т. 6, 4, 2000, стр. 120 – 127 (плохая обусловленность) а) расчетная схема, б) эквивалентная схема замещения стержневой конструкции. Параметры компонент:,. Ветви дерева: топологическая матрица контуров

32 Оценка решения примера 2 Предложенный метод Литература

33 Фрагмент расчетной схемы стержневой конструкции 3 l (ограничения в конструкции) Фрагмент расчетной схемы Вид ограничения:. Эквивалентная схема замещения:

34 Вид ограничения,, Эквивалентная схема замещения:

35 Выводы Впервые предложено использовать теорию графов для корректной формулировки математической модели стержневой системы. 1. Применение теории графов стало возможным за счет разработки эквивалентных схем замещения объектов стержневых систем, состоящих из двухполюсных компонент. 2. Применение теории графов расширило основную систему уравнений, описывающих стержневую систему за счет введения уравнений равновесия перемещений в контуре. 3. Корректная формулировки математической модели стержневой системы достигнута за счет предложенного алгоритма выбора компонент входящих в дерево, учитывающего особенности конкретной стержневой системы. 5.-

36 Литература 1. Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию сложных систем / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. – – 4. – С. 111 – Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по частям / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. – – 3. – С. 53 – Волобоев В.П. Один способ корректной формулировки математической модели технической (физической) задачи / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. – – 4. – С. 95 – 106.

37 Благодарю за внимание